高数大一下期末试卷.docx

一、选择题（每小题4分，共16分）
1、设，则（）
(A)(B)(C)(D)
2、若级数和都发散，则下列级数中必发散的是（）
(A)(B)(C)(D)
3、若在处收敛，则此级数在处（）
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性不能确定

4、计算，其中为曲面及平面所围成的立体，则正确的解法为（）
(A)(B)
(C)(D)
二、填空题（每小题4分，共24分）
1、设是由球面所围成的闭区域，则。
2、设曲线：，则。
3、设为上半圆周及轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向，
则。
4、设是平面在第一卦限的部分，则。
5、函数在处的幂级数展开式为，其收敛域为。
6、设，，其中，则在上
。
三、解答题（分A、B类题，A类题每小题10分，共60分；B类题每小题8分，共48分）
每道题必须且只需选做一道题，或做A类，或做B类，不必A、B类题都做
1、(A类)计算，其中分别为
（１）圆周，沿逆时针方向；
（２）圆周，沿逆时针方向。
(Ｂ类)计算，其中为上半圆周沿逆时针方向。（常数）

2、(A类)计算，其中是球面。
(Ｂ类)计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个
边界曲面。

3、(A类)计算，其中是抛物面
的上侧。
(Ｂ类)计算，其中是锥面
的下侧。

4、(A类)设为等差数列，试求：
（1）幂级数的收敛半径；（2）数项级数的和。
(Ｂ类)求幂级数的收敛域以及和函数；

5、(A类)判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？
(Ｂ类)判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？
6、(A类)将函数展开成以2为周期的余弦级数，并求的和。
(B类)将函数展开成以为周期的余弦级数。
附加题（10分）（选做题）
设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑
曲线,起点为,终点为,当时,求

一、DDAB
二、1．，2．3．4．
５．；６．
三．1．（A类）解：记则。
（1）设是由所围成的闭区域。因奇点，所以由格林公式，得
。
（2）设是由所围成的闭区域。选取一正数，则是位于内
的圆周(取逆时针方向)。记和所围成的闭区域为，，从而由格林公式，得，故
。
（B类）解：补上曲线，记和所围成的闭区域为。由格林公式，得

2．（A类）解：利用对称性和曲面方程，得

（B类）解：设，；，，其中
。则

3．（A类）解：作辅助面，取下侧。记和所围成的空间闭区域为，则

（B类）解：作辅助面，取上侧。记和所围成的空
间闭区域为，则

4．（A类）解：（1）依题意，，其中为公差。从而
，
故幂级数的收敛半径为1。
（2）解法一：设，则
，
因而。
解法二：设，由，得

故，求得，因而。
（B类）解：幂级数的收敛半径为，
当时，此时幂级数为收敛，从而其收敛域为。
设，则当，时

又根据和函数在收敛域的连续性，得
，，
。故
。
5．（A类）解：令，，则当时，，因
此对，单调递增且。
对级数来说，，说明它是交错级数。又且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。
另外，因故这说明级数是发散的。
综上所述，级数是条件收敛的。

（B类）对级数，因（），说明它是交错级数。当时，，且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。
另外，因这说明对级数，它是发散的。
综上所述，级数是条件收敛的。
5．（A类）解：对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：
；
；

得
因延拓后的函数在是连续的，从而

最后求级数：由，得。又
，
得。
（B类）对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：
；

得。
因延拓后的函数在是连续的，从而

附加题．解：记，，则
，

所以，这说明曲线积分在上半平面内与积分路径无关，只与起止点有关。
取，，则

注：另外，也可取路径，，则

=