大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳.doc

河北科技大学
《高等数学》（下）期末考试2
一、填空题（共12分）
1．（3分）若,则.
2.（3分）曲面在点处的法线方程为
.
3.（3分）微分方程的通解为.
4.（3分）设是以为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表
达式为
二、选择题（共16分）
1.（4分）级数为().
(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定
2.（4分）设曲面与所围成的空间立体的体积为若该立体在第一卦限部分的体积是则（）.
(A)(B)(C)(D)
3.（4分）二重积分在极坐标系下的面积元素为（）.
(A)(B)(C)(D)
4.（4分）若可微函数在点处取得极小值，,则下列结论中正确的是().
(A)在处的导数大于零(B)在处的导数等于零
(C)在处的导数小于零(D)在处的导数不存在
三、计算题（共12分）
（6分）设求
（6分）设由方程所确定，求
四、计算题（共18分）
1.（6分）计算二重积分其中是由直线及所围成的闭区域.
2.（6分）将函数展开为麦克劳林级数.
3.（6分）在斜边边长为定数的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.
五、计算题（共12分）
1.（6分）计算曲线积分其中为及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
2.（6分）求曲面积分其中为锥面的下侧.
六、计算题（共18分）
1.（6分）计算曲线积分其中是由直线所围成的三角形的正向边界.
2.（6分）判别级数的敛散性.
3.（6分）求幂级数的收敛半径和收敛区间.
七、计算题（共12分）
（6分）求微分方程在初始条件下的特解.
（6分）设曲线积分与路径无关,其中有一阶连续的导数,且求.

评分标准
一、1.2.
3.
4.;
二、1C;2C;3B;4B.
三、1解2分
4分
解方程两边求微分得3分
3分
四、1解画图1分
原式2分
2分
1分
解
2分
1分

2分1分
3解设周长和两个直角边分别为
则1分
作辅助函数为1分
由拉格朗日乘数法，
2分
解之得唯一可能的极值点由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为，斜边为时，周长最大.
2分
1解画图1分
原式=3分
1分

1分
2解画图1分
补充平面取上侧.1分
由高斯公式可得

2分
1分
1分
六、1解画图1分
由格林公式得
3分
2分
2解由比较判别法的极限形式1分
2分
而级数收敛,所以原级数收敛.3分
3解2分
1分
又当时原级数收敛,当时原级数发散,
2分
所以原级数的收敛区间为1分
七、1解特征方程为
特征值是1分
所以齐此方程的通解为1分
因为是特征方程的单根，故可设特解为
1分
利用待定系数法可得1分
于是原方程的通解为1分
将初始条件代入上式得所求特解为
1分
2解由所给条件可知
1分
即1分
用常数变易法可得通解为2分
将初始条件代入上式得1分
所求函数为1分