高数 大一下 期末.doc

西安交通大学《工科数学分析》第二学期期末考试试题
1997年6月试题
填空题（每小题6分，共30分）：
函数u=㏑（x+eq\r(y2+z2)）在点A（1,0,1）处沿点A指向B（3，-2,2）方向的方向导数为______.
已知eq\f((x+ay)dx+ydy,(x+y)2)为某函数的全微分，则a=_____.
微分方程y''-2y'+2y=ex通解为_____.
二次微分01dxx1xsiny3dy=_____.
设r=eq\r(x2+y2+z2),则div（gradeq\f(1,r)）=_______.
计算下列各题（每小题7分）：
求曲面z=x+f（y-z）上的点P0（x0，y0，z0）处的切平面方程，其中f为C(1)类函数.
计算积分I=(C)(x2+y2)ds其中曲线（c）的方程为:x=a(cost＋tsint),y=a(sint-tcost),0≤t≤2π
三、（8分）证明：变换u=x-2y，v=x+3y能把方程6∂2z∂x2+∂2z∂x∂y-∂2z∂y2=0简化成∂2z∂u∂v=0，其中z=fx,y有二阶连续偏导数.
四、（9分）已知力场F=yzi+zxj+xyk,问质点从坐标原点移到曲面x2a2+y2b2+z2c2=1在第一挂限部分上哪一点所做的功最大？求此最大功。
五、（9分）求方程组？？？=-1100-1410-4x的通解。
六、（8分）求曲面积分
I=sx-y2ⅆyⅆz+y-z2dzⅆx+z-x2dxⅆy
其中（S）为由平面aix+biy+ciz=±hiⅈ=1,2,3所围成的平行六面体表面的外侧，hi>0且∆=a1b1c1a2b2c2a3b3c3≠0(计算结果中若含有∆，∆的值不必计算).
七、（8分）讨论系统
dxdt=-y+x3dydt=x+αy+2x2y+y3零解的稳定性，其中α为任意常数。
八、（8分）设有一高度为好h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z=ht-2(x2+y2)h(t)（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面成正比（比例系数0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？
九、（6分）设u（x,y）,v(x,y)是c1(σ)类函数，其中(σ):x2+y2≤1,
fx,y=vx,yi+ux,yj,gx,y=∂u∂x-∂u∂yi+(∂v∂x-∂v∂y)j.在(σ)的边界曲线（C）上，u(x,y)≡1,v(x,y)≡y,求积分
I=σfx,ygx,ydσ
的值。
1997年6月试题答案
一、1．122．a=23．ex(C1cosx+C2sinx+1)4．16(1-cos1)5．0
二、1．x-x0+fy0-z0y-y0-[1+f'(y0-z0)(z-z0)=0
2．2a3π2(1+2π2)
四、（x,y,z）=(a3,b3,c3),Wmax=3qabc
五、通解xt=C1441+C2+C3tC2-2C3-2C3tC2-C3+C3te-3t
六、I=24h1h2h3∆
七、利用线性近似系统方法，得：若α<0，则渐近稳定；若α>0，不稳定；若α=0，作V=12x2+y2,dvdt=(x2+y2)2,正定,固不稳定.
八、t=100h
九、I=-π
1998年6月试题
一、(16分)下列集合是开集还是闭集，求出它们的内部、边界和闭包：
1、A=（x,y)∈R2|x≥0,y≥0,x+y≤1
2、A=x∈Rn||x|=1
二、（6分）求向量值函数f：R2⟶R2的导数Df（x,y）及其在给定点（1,0）T处的值，其中f(x,y)=(arctanx,exy)T,∀(x,y)∈R2.
三、（8分）计算二重积分
σx2+y2+ydxdy
其中(σ)=x,y|x2+y2≤4.
四、（10分）计算第二型线积分I=(OA)xx+eydy+ey-xydx
其中OA为从O(0,0)点沿y=2x-x2到A(1,1)点的弧.
五、（10分）计算第二型曲面积分
（S）yzdxdz+xzdxdy
其中S为半球面x2+y2+z2=R2(z≥0)的上侧.
六、（10分）求线性齐次方程组的通解：
dxdt=5-28-18-1533-16-10x
七、（12分）求方程的x''-5x'+6x=te2t通解.
八、（8分）交换累次积分02dxx2xf(x,y)dy的积分次序.
九、（7分）设f(x)为连续函数.
1、求初值问题y'+ay=f(x)y|x=0=0的解y(x),其中a>0;
2、若|fx|≤k（常数）,证明当x≥0时,有|y(x)≤ka(1-e-ax)|.
十、（7分）证明曲面Ϝx-az-a,y-bz-c=0上的任意点处的切平面均过某定点，其中a,b,c为常数，Ϝ(u,v)连续可微.
十一、（6分）设函数f(x)在区间0,