用放缩法证明不等式.docx

利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列的前项的和，。设，，证明：。
证明：易得，
=
点评：此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2已知数列和满足，，数列的前和为，；（I）求证：；（II）求证：当时，。
证明：（I）
∴．
（II）
由（I）可知递增，从而，又，

即当时，。
点评：此题（II）充分利用（I）的结论，递增，将裂成的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。
例3已知数列的首项为点在直线上。
若证明对任意的，不等式恒成立．
证明：，
所以
即。
点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
例4已知数列满足，，证明：。
证明：当时，，结论成立。
当时，易知

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
例5已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且．
（I）数列和的通项公式；
（II）求证：．
略解：（I），，。
证明：（II）．

∴．
反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口。

5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：
（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。
例6已知数列满足，（）．
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出通项；
（Ⅱ）如果时，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有．
略解：（），则．
，
当时，，则．
，则．
因此，．
反思：为什么会想到将放缩成？联想到，因为要证明，而是一个数列前项的和，最后通过放缩很可能变成的形式，而应是由放缩后裂项而成，，，此时刚好得到，接下来就要处理，想到用二项式定理。

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。
例7设数列的前项和为，且对任意的，都有.
(I)求的值；（II）求数列的通项公式；（III）证明：。
略解：（I）（II），；
证明（III）

，令，
则有，从而，即。
点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。
例8在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（I）分别计算，和，的值；
（II）求数列的通项公式（将用表示）；
（III）设数列的前项和为，证明：，．
略解：（I）（II）得，，，．
证明：（III）由（II），得．显然，；
当为偶数时，

；
当为奇数（）时，
.
综上所述，，即，．
点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。

7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。
例9设函数，其中．证明对任意的正整数，不等式都成立．
分析：欲证上述结论，直接作差比较，无从下手；接着想到令，判断函数的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能计算，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令，判断函数的单调性，如果在单调，则函数也单调。
解：令函数，则．
当时，，所以函数在上单调递增，
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．对任意正整数取，则有．

二、放缩法的注意问题以及解题策略
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（1）根式的放缩：；
（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；
真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，；
假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如；
（3）应用基本不等式放缩：；
（4）二项式定理放