用放缩法证明不等式.doc

HYPERLINK"http://www.math15.com/mo/budengshi_1.html"不等式是HYPERLINK"http://www.math15.com/bbs/forum-84-1.html"高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。⒈利用HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-627.html"三角形的三边关系［例1］已知a，b，c是△ABC的三边，求证：证明：﹥∵=为HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-886.html"增函数，又∵∴。点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-139.html"函数。⒉利用函数的HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-848.html"单调性［例2］求证：对于一切大于1的HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-615.html"自然数n，恒有。证明：原不等式变形为，令则，所以。即是单调HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-886.html"增函数（n=2，3，…），所以。故原不等式成立。点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-830.html"常数，再用单调性放缩就好了。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+(x﹥0)求证：－证明：,设（1）（2）（1）+（2）得点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-810.html"二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。⒋利用HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-780.html"绝对值不等式［例4］设=，当时，总有，求证：。证明：∵，∴，，，又∵∴所以，∴=7。点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。⒌利用不等式和HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-201.html"等比数列求和［例5］求证：。证明：=，利用不等式∴﹤=﹤。点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。⒍利用错位相减法求和［例6］已知a1,a2,a3,……,an,……构成一HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-892.html"等差数列，其前n项和为Sn＝n2,设bn＝,记{bn}的前n项和为Tn,(1)求HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-643.html"数列{an}的通项公式；(2)证明：Tn<1。解：(1)a1＝S1＝1,当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n－1;由于n＝1时符合公式，∴an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝,∴Tn＝,两式相减得Tn＝＋＝＋(1－)－,∴Tn＝＋(1－)－<1。⒎利用HYPERLINK"http://www.math15.com/wiki/index.php?doc-view-905.html"裂项法求和［例7］已知函数在上有定义，且满足①对任意的②当时，.证明不等式.证明：令，则.令，则，故在上为奇函数.设，且由可得，