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用放缩法证明不等式
徐加生戴加荣

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过
程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单
独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法
证题的常见题型。

一.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜＋＜ab4。
3

证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，

得a＋b＞1，又ab＜1（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）2，即3（a
444

＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜4，故有1＜a＋b＜4。
33

例2.已知a、b、c不全为零，求证：

3
a22+++abbb22+++bccc2++aca2＞（abc++）
2

22
证明：因为aabb22++=（）a+b+3ba2＞（）+b=+ab≥a+b，
24222
c
同理bbccb2++2＞+，cacac2++2＞+a。
22

3
所以a22+++abbb22+++bccc2++aca2＞（abc++）
2

二.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、
分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

abc
例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜。
bc+ac++ab
b
证明：由于a、b、c为正数，所以a＞a，b＞，
bc+++abcac+++abc

（）

c＞c，所以
ab+++abc
abc
＋＋＞a＋b＋c＝1，又a，b，c为三角形的
bc++acab+abc＋＋abc＋＋abc＋＋
a2ab2b
边，故b+c＞a，则a为真分数，则＜，同理＜，
bc+bc+++abcac+++abc
c2c
＜，
ab+++abc

abc
故＋＋＜222a＋b＋c=2.
bc++acab+abc++abc++abc++

abc
综合得12＜＋＋＜。
bc+ac++ab

三.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
111
例4.已知n∈N*，求1+++…+＜2n。
23n
12211
证明：因为=＜（）=−−21nn，则1+++
nnn++−nn123
1
…＜（）（）…（++−+−++−−=−12212322nn1）2n12＜n
n
，证毕。

例已知*且，求证：
5.n∈Nan=1×2+2×3+L+n(n+1)
n(n+1)(n+1)2
<a<对所有正整数n都成立。
2n2

2n(n+1)
证明：因为n(n+1)>n=n，所以an>1+2+L+n=，
2
n(n+1)
又n(n+1)<，
2
1+22+3n(n+1)352n+1(n+1)2
所以an<++L+=++L+=，综合知结论成
2222222
立。

四.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

（）

2x−1n
例6.已知函数f(x)=，证明：对于n∈N*且n≥3都有f(n)>。
2x+1n+1
证明：由题意知
n2n−1n21122n−(2n+1)
f(n)−=−=(1−)−(1−)=−=
n+12n+1n+12n+1n+1n+12n+1(n+1)(2n+1)
又因为n∈N*且n≥3，所以只须证2n>2n+1，又因为
，
n(n−1)
2n=(1+1)n=C0+C1+C2++Cn−1+Cn=1+n+++n+1>2n+1所
nnnLnn2L
n
以f(n)>。
n+1

例7.已知f(x)=1+x2，求证：当ab≠时fa（）−<−fb（）ab。

证明：
ab22−abab+−
fa（）−=+−+=fb（）11a22b=
11+++ab2211+++ab22
a+ba−b(a+b)a−b
<<=a−b证毕。
a+ba+b

五.换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题
目的。
111
例8.已知a>b>c，求证++>0。
a−bb−cc−a
证明：因为a>b>c，所以可设a=c+t，b=c+u(t>u>0)，所以t−u>0则
11111111t−u111
++=+−>−=>0，即++>0。
a−bb−cc−at−uututtua−bb−cc−a

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2+b2=c2，当n∈N*且n≥3时，求
证：an+bn<cn。

证明：由于a222+=bc，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为0