矩阵LU分解求逆详细分析与C语言实现.docx

题目要求
给定一个多维矩阵，实现该矩阵的求逆运算。
1、理论分析
矩阵的一种有效而广泛应用的分解方法是矩阵的LU三角分解，将一个n阶矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。所以首先对矩阵进行三角分解，这里采用Doolittle分解，即分解为一个下三角矩阵（对角元素为1），和一个上三角矩阵的乘积。再进行相应的处理。
所以，矩阵求逆的算法流程可表述如下：

图1矩阵求逆流程图
1)进行LU分解；
2)对分解后的L阵（下三角矩阵）和U阵（上三角矩阵）进行求逆;；
3)L阵的逆矩阵和U阵的逆矩阵相乘，即可求得原来矩阵的逆。即：
（1）
1.1矩阵的LU分解
若n阶方阵的各阶顺序主子式不等于零，即：
（2）
则A的LU分解存在且唯一。
（3）
由矩阵的乘法原理,可推导出LU分解的迭代算法
（4）
（5）
（6）
（7）
矩阵的LU分解是一个循环迭代的过程,U矩阵是从第1行迭代到第n行,而L矩阵则是从第1列迭代到第n列,且U矩阵先于L矩阵一个节拍。
1.2L矩阵和U矩阵求逆
首先假设下三角矩阵L的逆矩阵为，不失一般性，考虑4阶的情况，利用，有：
（1），，；
（2）
（3）
（4）。
从而求得下三角矩阵L的逆矩阵R式如下：
，（8）
上三角矩阵U的逆矩阵可以由下式得到：。
，（9）
矩阵求逆是一个迭代的过程，依次循环,迭代次,求出整个逆矩阵。其中U矩阵的循环迭代时按行顺序，列倒序进行，L矩阵的循环迭代按列顺序，行顺序进行，直到计算出整个矩阵的所有结果为止。
1.3矩阵相乘
上三角矩阵U的逆矩阵u与下三角矩阵L的逆矩阵相乘,最终得到原始矩阵A的逆矩阵,完成整个矩阵求逆的过程。对于n阶矩阵相乘的迭代形式可表示如下：
（10）
1.4实例分析
例：给定一4阶矩阵，通过LU分解求逆矩阵。
解：算法过程为：，
第一步：求LU矩阵
设，通过（4）~（7）式可逐步进行矩阵L和U中元素的计算，如下所示：

经迭代计算，最后得到L和U矩阵为：

第二步：求L和U矩阵的逆,

（1）求U矩阵的逆

由式（9）可得矩阵U的逆的各元素计算如下：

（2）求L矩阵的逆
由（8）式可得L矩阵的逆的各元素计算如下

所以得到L和U的逆矩阵为：

（3）求A的逆矩阵
由式（10）可计算得到矩阵A的逆，如下：
由程序计算出的结果如下：

2、C语言程序设计及测试
2.1算法c程序实现
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#defineN4
voidmain()
{floata[N][N];
floatL[N][N],U[N][N],out[N][N],out1[N][N];
floatr[N][N],u[N][N];
memset(a,0,sizeof(a));
memset(L,0,sizeof(L));
memset(U,0,sizeof(U));
memset(r,0,sizeof(r));
memset(u,0,sizeof(u));
intn=N;
intk,i,j;
intflag=1;
floats,t;
////////////////////inputamatrix////
printf("\ninputA=");
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%f",&a[i][j]);
//////////////////figuretheinputmatrix//////////////////////////
printf("输入矩阵:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%lf",a[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(j=0;j<n;j++)
a[0][j]=a[0][j];//计算U矩阵的第一行

for(i=1;i<n;i++)
a[i][0]=a[i][0]/a[0][0];//计算L矩阵的第1列
for(k=1;k<n;k++)
{
for(j=k;j<n;j++)
{
s=0;
for(i=0;i<k;i++)
s=s+a[k][i]*a[i][j];//累加
a[k][j]=a[k][j]-s;//计算U矩阵的其他元素
}
for(i=k+1;i<n;i++)
{
t=0;
for(j=0;j<k;j++)
t=t+a[i][j]*a[j][k];//累加
a[i][k]=(a[i][k]-t)/a[k][k];//计算L矩阵的其他元素
}
}
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{if(i>j)
{L[i][j]=a[i][j];U[i][j]=0;}//如果i>j，说明行大于列，计算矩阵的下三角部分，得