矩阵求逆c代码.doc

课程设计报告

学院：自动化学院班级：09011006学号：2010302184学生姓名：胡晓杰指导教师：杨峰时间：2013年6月

课程设计任务书

设计内容
掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。

二、主要技术指标
掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。
用C或者C++实现矩阵求逆
处理结果与Matlab求逆结果对比
阅读矩阵求逆方面文献10篇以上

三、进度要求
两周完成设计任务，写5000字以上的小论文。附参考文献并在论文中进行标注。

学生胡晓杰指导教师杨峰

本科课程设计报告

设计内容
掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。
设计过程
1、矩阵的定义
由个数排列成个行个列的数表

称为矩阵，其中数称为矩阵的元.
当时，称为阶矩阵或方阵.
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或简记为.
两个矩阵，，如果，，则称矩阵与为同型矩阵.
如果两个同型矩阵与的对应元素相等，即，，，则称矩阵与相等，记作或.[1]
当时，矩阵称为行矩阵或行向量.
当时，，矩阵称为列矩阵或列向量.
形如

的阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作
.
特别当时，这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵.
当时，这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵，记作或，在阶数不致混淆时，简记为或，即.
主对角线下方的元素都是零的方阵

叫做上三角矩阵.
主对角线上方的元素都是零的方阵

叫做下三角矩阵.[2]
2、逆矩阵的概念
定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.[3]
2、矩阵的初等变换
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
(1)将矩阵中某两行对换位置；
(2)将某一行遍乘一个非零常数k；
(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.
并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.
（4）矩阵A经过初等行变换后变为B，用AB表示，并称矩阵B与A是等价的
3、有关矩阵求逆的定义定理
定义1n级方阵A称为可逆的，如果n级方阵B，使得
AB=BA=E（1）
这里E是n级单位矩阵。
定义2如果B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作。
定理1如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
定理2矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时,有
。
定理证明见.
定理2不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。
由定理2逆矩阵判定的方法还有：
推论2.1n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。
推论2.2矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。
推论2.3n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。[4]
4、矩阵的秩
前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.
在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.
定义：在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.
定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，即秩(A).
规定：零矩阵O的秩为零,R(A)=0
定理：设A为矩阵，则R(A)=k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.
定理：矩阵经过初等行变换后，其秩不变.
定理：给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.
4、矩阵可逆的条件
（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；
（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；
（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；
（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.

5、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1=A；
（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=EQEQ\F(1,k)A-1；
（3）AB