线性方程组的数值解法安振华.docx

实验5：线性方程组的数值解法

化学工程系分2安振华2012011837

【实验目的】
1、掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。
2、体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。
3、加深对数值计算误差的理解。
4、学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。
5、学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。
【实验内容】
【实验五：习题9】
种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应保持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n，当年年龄k的种群数量记作xk，繁殖率记作bk（每个雌性个体在1年繁殖的数量），自然存活率记作sk（sk=1-dk，dk为1年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量应为：

要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使

（1） 若bk，sk已知，给定收获量hk，建立求各年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵向量表示）
（2） 设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1~h5为500,400,200,100,100,求x1~x5
（3） 要使h1~h5均为500，如何达到？
【分析】
为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。我们并且有以下的假设：
(1)雌性个体的繁殖率和存活率在特定的时间内是不变的。
(2)人工饲养的种群在质量和数量上是不受外界环境和资源的限制的。
(3)模型中不考虑人为的或是自然的灾害所造成的种群数量、繁殖率和存活率的变动。
(4)样本的量足够大使得每年新出生的个体数均为整数。
(5)模型中的种群按年龄进行分组。
【解答】
(1)
基于以上假设，要使各年龄种群数量每年维持不变即
依题意得

对上述方程组变换后得到AX=H
其中，

X=[x1,x2,x3,…,xn]T
H=[0,h1,h2,…,hn-1]T
其解为X=A-1H
此式即为种群数量xk的模型。
(2)
MATLAB程序:
clc;clearall;
%按题给定的值赋予参数相应的值
s=[0.4,0.6,0.6,0.4];
b=[0,0,5,3,0];
h=[500,400,200,100,100];
n=5;
%生成矩阵A
A1=sparse(1,1:n,b,n,n);
A2=-eye(n);
A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);
A=A1+A2+A3;
%生成矩阵H
H=[0,h(1:4)]';
%求解X
x=A\H;
X=round(x)%对结果取整

运行结果：
k12345hk500400200100100XK848128921335601141

结果分析：
图像显示结果与前面分析大致相同，即圆桶在此过程做加速
结果分析：
其中x5=141>h5=100，说明方程的解满足条件，计算正确。
(3)在上述程序中，将矩阵h的值全赋为500，其他不做任何变化，
MATLAB程序:
clc;clearall;
%按题给定的值赋予参数相应的值
s=[0.4,0.6,0.6,0.4];
b=[0,0,5,3,0];
h=[500,500,500,500,500];
n=5;
%生成矩阵A
A1=sparse(1,1:n,b,n,n);
A2=-eye(n);
A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);
A=A1+A2+A3;
%生成矩阵H
H=[0,h(1:4)]';
%求解X
x=A\H;
X=round(x)%对结果取整

运行结果：
X1X2X3X4X51098138921835601-259

结果分析：
结果中X5为负值，这显然是不可能的，这说明按题目中设定的前提条件是不可能使得h1,…，h5均为500的。
对于一个特定的生物物种，通过人工条件改变其繁殖率是相当困难的，但是可以通过改善养殖条件等方法增大物种的成活率。很显然，x1<x2<x3<x4<x5只要使得x5能够大于500，就肯定能满足题设条件。考虑到养殖的成本，在满x5≥500的情况下，使得k=15xk最小，即可得到最优化的解。
MATLAB程序:
clc;clearall;
b=[0,0,5,3,0];%按题中给定的值赋予参数以相应的值
h=[500,500,500,500,500];n=5;
H=[0,h(1:4)]';t=Inf;%生成矩阵H
A1=sparse(1,1:n,b,n,n);
A2=-eye(n);
%通过循环求解最优解
fors1=0.1:0.1:1
fors2=0.1:0.1:1
fors3=0.1:0.