第十二章无穷级数.docx

无穷级数

内容概要和重难点提示
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与SKIPIF1<0级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理。幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。对数一，要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式。
考试要求
1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及SKIPIF1<0级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法、比较判别法的极限形式和比值判别法。
3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。
4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6．了解函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式（牢记5个公式）。
难点判断数项级数的敛散性剖析级数与数列的关系求和函数理解狄利克雷定理
考试知识要点讲解
常数项级数的概念与基本性质
基本概念
设有数列SKIPIF1<0，将它们依次相加
SKIPIF1<0
称为由数列SKIPIF1<0构成的无穷级数，记为SKIPIF1<0。
若SKIPIF1<0（定数），则称级数SKIPIF1<0收敛，且收敛于总和SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0（或者不定），则称级数SKIPIF1<0发散。（通俗的定义）
令SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为级数前SKIPIF1<0项部分和。显然数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有：
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。
SKIPIF1<0、若SKIPIF1<0，则称级数SKIPIF1<0收敛，且收敛于总和SKIPIF1<0，反之就是发散。收敛时
SKIPIF1<0称为级数的余项（仍为级数）。
基本性质
若SKIPIF1<0都收敛，对于任何常数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0也收敛，且
SKIPIF1<0；
在级数中添加或者去掉或者改变有限项，不改变其敛散性；
收敛的级数任意加括号后所得到的新级数仍收敛，且和不变；
（收敛的必要条件）SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0，反之不成立。
注：（1）敛散性和其它性质一样都有：SKIPIF1<0；
（2）性质3的逆和否命题不成立(但是任何命题原命题成立，则逆否命题必成立；
（3）SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（不能用SKIPIF1<0得出级数收敛，但是若SKIPIF1<0则必发散）。
（4）几个重要的级数敛散性结论
几何级数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时收敛于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时发散；
SKIPIF1<0级数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时收敛，当SKIPIF1<0时发散，（SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0叫做调和级数）。推广得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时收敛，当SKIPIF1<0时发散；
级数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时收敛，当SKIPIF1<0时发散。（您会证明、会应用吗？）。
大家回忆一下，高数在哪里还介绍过收敛的概念？
例题1判定下列级数的敛散性：
（1）（SKIPIF1<0）；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。
二、常数项级数敛散性的判定
（一）正项级数
定义1：若在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，则称此级数为正项级数（若SKIPIF1<0呢？）
由于正项级数中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单增，由单调有界数列必收敛，知SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0有界，采用此结论可以得到：
比较审敛法
若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0收敛，则SKIPIF1<0也收敛；
若SKIPIF1<0（SKIPIF