第十二章 无穷级数.docx

第十二章无穷级数

教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、，和的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
比较判别法的极限形式；
莱布尼茨判别法；
任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
函数项级数的收敛域及和函数；
泰勒级数；
傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11.1常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数:给定一个数列
u1,u2,u3,×××,un,×××,
则由这数列构成的表达式
u1+u2+u3+×××+un+×××
叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为,即
,
其中第n项un叫做级数的一般项.
级数的部分和:作级数的前n项和

称为级数的部分和.
级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,
则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这级数的和,
并写成
;
如果没有极限,则称无穷级数发散.
余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值
rn=s-sn=un+1+un+2+×××
叫做级数的余项.
例1讨论等比级数(几何级数)

的敛散性,其中a¹0,q叫做级数的公比.
例1讨论等比级数(a¹0)的敛散性.
解如果q¹1,则部分和
.
当|q|<1时,因为,所以此时级数收敛,其和为.
当|q|>1时,因为,所以此时级数发散.
如果|q|=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;
当q=-1时,级数成为
a-a+a-a+×××,
时|q|=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,
所以sn的极限不存在,从而这时级数也发散.
综上所述,如果|q|<1,则级数收敛,其和为;如果|q|³1,则级数发散.
仅当|q|<1时,几何级数a¹0)收敛,其和为.
例2证明级数
1+2+3+×××+n+×××
是发散的.
证此级数的部分和为
.
显然,,因此所给级数是发散的.
例3判别无穷级数

的收敛性.
解由于
,
因此

从而
,
所以这级数收敛,它的和是1.
例3判别无穷级数的收敛性.
解因为

,
从而
,
所以这级数收敛,它的和是1.
提示:.

二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.
性质1如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks.
性质1如果,则.
这是因为,设与的部分和分别为sn与sn,则
.
这表明级数收敛,且和为ks.
性质2如果级数、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±s.
性质2如果、,则.
这是因为,如果、、的部分和分别为sn、sn、tn,则

.
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.
比如,级数是收敛的,
级数也是收敛的,
级数也是收敛的.
性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.
应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数
1-1)+1-1)+×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××却是发散的.
推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.
级数收敛的必要条件:
性质5如果收敛,则它的一般项un趋于零,即.
性质5如果收敛,则.
证设级数的部分和为sn,且,则
.
应注意的问题:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.
例4证明调和级数
是发散的.
例4证明调和级数是发散的.
证假若级数收敛且其和为s,sn是它的部分和.
显然有及.于是.
但另一方面,
,
故,矛盾.这矛盾说明级数必定发散.