时间序列分析方法向量自回归.docx

第十一章向量自回归
前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。本章我们将深入分析向量自回归模型，这种模型更适合于估计和预测。由于Sims(1980)年在经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了广泛的应用。
§11.1无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模型的条件似然估计。
11.1.1向量自回归模型的条件似然函数
假设表示一个包含时间时个变量的的向量。假设的动态过程可以由下面的阶高斯向量自回归过程：
，
假设我们已经在个时间间隔中观测到这些个变量的观测值。如同标量过程时的情形，最简单的方法是将前个样本(表示为)做为条件，然后利用后面的个样本(表示为)形成参数估计。我们的目的是构造下面的条件似然函数：

这里参数向量为，我们在上述函数中相对于参数进行极大化。一般情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上，而不是在无条件似然函数基础上进行估计的。为了简单起见，我们将上述“条件似然函数”称为“似然函数”，相应的“条件极大似然估计”称为“极大似然估计”。
向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。基于时刻以前观测值，时刻的值等于常数向量：，加上一个多元正态分布的随机向量，因此条件分布为：

我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。假设向量是常数向量和滞后值向量构成的综合向量：

这是一个维数为的列向量。假设表示下述维矩阵：

这时条件均值可以表示为，的第行包含VAR模型第个方程中的参数。使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式：

因此第个观测值的条件分布可以表示成为：

这是基于条件的观测值从1到的联合概率分布为：

连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本基于的联合条件分布是单独条件密度函数的乘积：

因此，样本对数似然函数为：

11.1.2的极大似然估计
我们首先考虑的极大似然估计，它包含常数向量和自回归系数。我们的结论是它可以利用下述公式给出：

这可以当作基于常数和母体线性投影的样本估计，的第行是：

这正是基于常数和进行线性回归的普通最小二乘估计(OLS)的估计系数向量。因此，VAR模型第个方程系数的极大似然估计可以从基于常数项和该系统所有变量的阶滞后变量进行线性回归得到的OLS估计获得。
为了验证上述结论，我们将似然函数中的最后一项表示成为：

这里的向量的第j个元素是从基于常数和进行线性回归得到的观测值的样本残差：

进一步将上式化简为：

考虑上式的中间项，由于这是一个标量，利用“迹算子”进行计算数值不改变：

注意到在线性回归中，普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量是正交的，即对所有的j有：

因此也有：

这样就有：

因为是正定矩阵，它的逆矩阵也是正定矩阵。因此，定义一个维向量：

则上式最后一项可以表示成为：

因此，上式达到最小值时要求：，即：，这意味着OLS回归估计为向量自回归系数提供了极大似然估计。
11.1.3的极大似然估计
我们可以利用矩阵导数的一些公式来获得的极大似然估计。在的极大似然估计处，条件似然函数为：

我们的目的是选择对称正定矩阵使得上述函数达到最大。类似的矩阵导数运算得到：

上述矩阵的第i行和第j列元素的估计为：

这里残差是VAR模型中第i个变量基于常数和所有变量的p阶滞后进行回归普通最小二乘估计得到的残差。
11.1.4向量自回归模型的似然比检验LikelihoodRatiosTests
为了实施似然比检验，我们需要计算极大似然函数的具体数值，为此，我们考虑：

上式中的最后一项是：

代入到似然函数中，得到：

这使得似然比检验比较容易进行。假设我们希望检验的原假设是一组变量是由具有阶滞后变量的高斯VAR模型产生，而备选假设是滞后变量阶数为。为了在原假设下估计系统，我们对系统中的每一个变量基于常数和所有其他变量及其阶滞后变量进行最小二乘回归，设是从这些回归中得到的残差的方差-协方差矩阵。因此在原假设下对数似然估计的极大值是：

类似，该模型系统可以利用最小二乘估计对包括所有变量阶滞后变量进行线性估计，得到备选假设下对数似然函数的最大值是：

这里是从第二组变量集合中获得的方差-协方差矩阵。则似然比对数的二倍可以表示为：

在原假设下，似然比统计量具有分布的渐近分布，自由度是附加在原假设上约束的数目，系统中每个方程在原假设上的约束条件是每个变量减少了个滞后变量，因此一个方程中的参数零约束是，因此整个VAR模型系统的约束条件数目，因此上述似然比统计量在原假设成立时的渐近分布是。
例如，假设在滞后3阶和4阶的情形下估计一个二元VAR模型，这时的参数阶数为：，，，假设原始样本中每个变量包含50个观测值，表示为，观测值1至46用于估计滞后3阶和4阶指定时的系统参数，因此