椭圆的常见题型及解法二.docx

椭圆的常见题型及解法（二）
一对称问题
平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.
①点A关于B的对称点为C，点B为A、C的中点，由中点坐标公式有：；
②设点A(x1,y1)关于直线：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC直线与垂直，且AB的中点在上，有：
(当直线中a=0或b=0时，上面结论也正确)
③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A为主动点,点C为从动点,由中点坐标公式有:,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:.
④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线,在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:
,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:.
圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保:⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.
例1.已知椭圆C:,试确定m的取值范围,使得对于直线:在椭圆C上存在不同的两点关于直线对称.
解:椭圆上存在两点A,B关于直线对称,
设直线AB为:(确保垂直).
设直线AB与椭圆有两个不同的交点.

(确保存在)
即：

AB两点的中点的横坐标为纵坐标为
则点在直线上,.(确保平分)

把上式代入(1)中,得：
变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率
（I）求椭圆E的方程；
（II）求的角平分线所在直线的方程；
（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.
本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.
解：（I）设椭圆E的方程为

将A（2，3）代入上式，得∴椭圆E的方程为
（II）解法1：由（I）知，所以
直线AF1的方程为：
直线AF2的方程为：
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.
设上任一点，则
若（因其斜率为负，舍去）.
所以直线l的方程为：
解法2：

（III）解法1：
假设存在这样的两个不同的点

由于M在l上，故①
又B，C在椭圆上，所以有
两式相减，得
即
将该式写为，
并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中，
得②
①×2—②得，即BC的中点为点A，而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法2：
假设存在，
则

得一元二次方程
则是该方程的两个根，
由韦达定理得
于是
∴B，C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线
即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.
∴不存在满足题设条件的相异两点.
二中点弦问题
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、
为的中点
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是

即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又，
两式相减得
即
，即
点的坐标为。
变式训练1、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又，
两式相减得
即，即
，即
由，得
点在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
变式训练2、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
，，
又，
两式相减得
即
┅┅②
联立①②解得，
所求椭圆的方程是
变式训练3.（13年新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（） （）
A． B． C． D．
解析：设两点的坐标分别为，则有
两式相减得

又的中点坐标为，所以，代入上式得
，
而直线的斜率为①
由右焦点F（3,0）知：②
由①②得曲线E的方程为故选D
三弦长问题
例1.（10辽宁理）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
求椭圆C的离心率；
如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率.
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为.
例2（10天津文）已知椭