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椭圆的常见题型及其解法(一)
椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.
一、椭圆的焦半径
椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.公式的推导
设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：
。
因为，所以
∴
又因为，所以
∴，
证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
2.公式的应用
例1椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，则.
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
例2.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则
在椭圆上，，的最大值为4，最小值为1.
变式练习1：.求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。
解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得
设，则
，从而

变式练习2.设Q是椭圆上任意一点，求证：以（或）为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C的半径为r

即
也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切
同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
3.椭圆焦半径公式的变式
P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）。
P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）；（4）。
证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有
由椭圆焦半径公式（1）得。
消去后，化简即得（1）。
而当大于90°时，在三角形PEQ中，有
，以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。
4.变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。
例1.（2005年全国高考题）P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得。再由题意得
＋。
注意到。
例2.P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。
解：设PF的倾斜角为，则：
。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得
所以三角形PEF的面积

变式训练1.经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若，求椭圆的离心率。
解：由题意及变式（2）得

化简得。
变式训练2.设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。
解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而，由题意及（3）式得

同理得。由题意知四边形PMQN面积

当时，；当时，＝。
二椭圆的焦点弦
设椭圆方程为过椭圆右焦点且倾斜角为的直线方程为，此直线交椭圆于两点，求焦点弦的长.

例1、已知椭圆的长轴长，焦距，过椭圆的焦点作一直线交椭圆于、两点，设，当取什么值时，等于椭圆的短轴长？
分析：由题意可知是椭圆的焦点弦，且，，从而，故由焦
点弦长公式及题设可得：，解得，即或。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。
分析：由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，故有（1），又由焦点弦长公式有（2）又（3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：，，，从而所求椭圆E的方程为。
变式训练1、已知椭圆C：（），直线：被椭圆C截得的弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，求椭圆C的方程。
分析：由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有，（1）又由焦点弦长公式得=，（2）因=，得，（3）
又（4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：，，从而所求椭圆E的方程为。
例3.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求四边形的面积的最小值.