椭圆的常见题型.docx

高中数学重难点椭圆
一、考点、热点回顾
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）
(2)方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

二、典型例题
椭圆方程的求解
1、已知椭圆的长半轴长为5，离心率，求其标准方程。

2、一直椭圆过点，，求椭圆的标准方程。

3、求经过点的椭圆的标准方程。

4、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程

椭圆的离心率
1、求下列椭圆的离心率：；（2）；（3）设F是椭圆的一个焦点，是短轴，。

2、过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为________________

3、若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是_____________.

4、平面直角坐标系xoy中，是椭圆长轴和短轴的顶点，F为其右焦点，直线与直线相交于点T, 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_______________

对称问题
1、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

中点弦问题
1、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．

课堂练习

设椭圆E:的焦点在x轴上。
若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
设分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线交y轴于点Q，并且证明：当a变化时，点P在某定直线上。

平面直角坐标系xoy中，过椭圆M：右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的重点，且OP的斜率为。
求M的方程；
C,D为M上两点，若四边形ABCD的对角线,求四边形ABCD面积的最大值。