全向轮运动平台分析.docx

全轮转向式小车
一、坐标系与位置表示

图1地理坐标系与体坐标系
定义如图所示的坐标系，地理坐标系{XI，YI},体坐标系{XR，YR}，坐标之间夹角为θ，P点位置描述为
εI=xyθ
由地理坐标转为体坐标的映射由正交旋转矩阵完成
εR=RθεI=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xyθ
反方向变换矩阵如下
Rθ-1=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001
二、运动学模型与控制律
2.1全向轮直角坐标运动学方程

图2轨迹跟踪示意图
坐标系参照图2，对于地理坐标中的位置指令pI=(xryrθr)和速度指令qI=(vrωr)将对应的误差在体坐标系中表示出来
pR=xeyeθe=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xr-xyr-yθr-θ
对上式求导的到[1]:
xe=xr-xcosθ-xr-xsinθθ+yr-ysinθ+(yr-y)cosθθ=yeω-xcosθ+ysinθ+vrcosθrcosθ+vrsinθrsinθ=yeω-vx+vrcosθr-θ=yeω-vx+vrcosθe
ye=-xr-xsinθ-xr-xcosθθ+yr-ycosθ-(yr-y)sinθθ=-xeω+xsinθ-ycosθ-vrcosθrsinθ+vrsinθrcosθ=-xeω-vy+vrsinθe
将上式合并写出得到位置误差微分方程
pR=xeyeθe=yeω-vx+vrcosθe-xeω-vy+vrsinθeωr-ω
2.1.1全向轮直角坐标下控制律设计
设李雅普诺夫函数为
V1=12xe2+ye2+θe2
求其导数如下，当渐进稳定时导数小于0；
V1=xexe+yeye+θeθe
xe=-kxxe,ye=-kyye,θe=-kθθe
上式系数为正时，李雅普诺夫函数的导数小于零，系统渐进稳定
代入微分方程得到控制律如下：
vx=yeω+vrcosθe+kxxe
vy=-xeω+vrsinθe+kyye
ω=ωr+kθθe
2.2差动轮直角坐标运动学方程
差动轮与全向轮的区别是，全向轮小车速度方向与四个轮子的共同朝向相同可为任意方向，而差动轮小车的切向速度方向与X轴重合，故方程中vy=0,微分方程如下：
pR=xeyeθe=yeω-v+vrcosθe-xeω+vrsinθeωr-ω
2.2.1差动轮直角坐标下控制律设计
选择Lyapunov函数如下：
V2=12xe2+ye2+1k(1-cosθe)
对上式沿求导：
V2=xexe+yeye+1kθesinθe=xeyeω-v+vrcosθe+ye-xeω+vrsinθe+1kωr-ωsinθe=-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe=-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe
选择如下速度控制输入：
v=vrcosθe+kxxe
ω=ωr+vr(kye+kθsinθe)
将上式代入Lyapunov函数导数得到：
V2=-kxxe2-kθkvrsin2θe
当上式系数为正时，V2≤0，故以上Lyapunov函数选择正确。
由此得到基于运动学模型的轨迹跟踪速度控制律为[2]：
vω=vrcosθe+kxxeωr+vr(kye+kθsinθe)
其中，k，kx，kθ为控制器参数。
2.2.2控制器参数选取
将控制律代入微分方程得下式：
pR=xeyeθe=ye(ωr+vr(kye+kθsinθe))-kxxe-xe(ωr+vr(kye+kθsinθe))+vrsinθe-vr(kye+kθsinθe)
上式在零点附近线性化，忽略高次项得
pR=ApR
A=-kxωr0-ωr0vr0-vrky-vrkθ
系数值与角速度和速度指令值共同决定系统根，当系数为正是所有根为负数。
2.3对比仿真与结果
仿真系统结果图如下：

图3轨迹跟踪结构图
图中q=(vω)T，v、ω分别为移动机器人的线速度和角速度，εI=(xyθ)T,对于差动机器人运动学方程可表示为：
εI=xyθ=cosθ0sinθ001vω=Jqc
图中J=cosθ0sinθ001；pR=xeyeθe；qc=q；
对于全向轮机器人运动学方程可表示为：
xyθ=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001vxvyω=Rθ-1vxvyω
对角速度为0.2和线速度为5的圆形轨迹进行跟踪，仿真结果如下图：

图4圆形轨迹跟踪仿真图
图中×点线为差动轮跟踪轨迹，О点线为全向轮跟踪轨迹。
三、全向轮平台的设计
对全向轮采用如下图所示的结构时，进行系统分析与设计

图5互补型全向轮(omniwheels)
3.1运动学模型

图6全向轮式移动机器人运动学模型
移动坐标Xe-Ye固定在机器人重心上，而质心正好位于几何中心上。机器人P点在全局坐标系的