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高二定积分及其简单应用.docx

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定积分及其简单应用 定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． ②一般情况下，定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． 3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3) 4．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝________. 解析：由定积分的几何意义可知，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以 eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π.答案：eq\f(1,4)π 例1、利用微积分基本定理求下列定积分： (1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(x2＋2x＋1)dx；(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)(sinx－cosx)dx；(3)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)x(x＋1)dx； (4)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x＋\f(1,x)))dx；(5)sin2eq\f(x,2)dx. [解答](1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(x2＋2x＋1)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)x2dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)2xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)1dx＝eq\f(x3,3)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,1)＋x2eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,1)＋xeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,1)＝eq\f(19,3). (2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)(sinx－cosx)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)sinxdx－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)cosxdx＝(－cosx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(π,0)－sinxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(π,0)＝2. (3)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)x(x＋1)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x2＋x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)x2dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)xdx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,0)＋eq\f(1,2)x2eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23－0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×22－0))＝eq\f(14,3). (4)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x