高二数学定积分及其应用.doc

用心爱心专心高二数学定积分及其应用一、定积分定义1、概念设函数y=f(x)在区间[a，b]上有定义，任给该区间的一个分法：a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b，将区间分成n个小区间[xi-1，xi]，其长度为△xi=xi-xi-1，(i=1,2,…,n)，令，在每个区间[xi-1，xi]上，任取一点ξi，xi-1≤ξi≤xi,作乘积f(ξi)△xi,(i=1,2,…,n)的和式，若无论对区间[a,b]采取任何的分法以及点ξi如何选取，当λ趋于0时，和式的极限存在，即和式也趋于一个常数，则此常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记作：即。其中，f(x)叫被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积。注意：1.基本步骤：①分割——分割得越细，误差就会越小②近似替代——“以直代曲”，以矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积③求和——清楚和式中的字母的含义④取极限：是的极限。2.定积分的结果是一个数值，可以是正数，零，也可以是负数；3.理解定积分的几何意义：在几何上表示由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b和x轴所围成的一组曲边多边形的面积的代数和（x轴上方的面积与x轴下方的面积的差）.如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a＜b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝2、定积分的性质（1）线性性质：（2）（3）（4）若则（5）积分中值定理：设在〔a,b〕上连续，则在〔a,b〕上至少存在一点，使下式成立其中。（6）估值定理：若在〔a,b〕上可积，且，则有不等式（7）若函数在〔a,b〕上连续，则有3、微积分基本定理（牛顿——莱布尼茨公式）h=F(b)-F(a),另一方面设a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b，将区间[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]，(i=1,2,…,n)于是得到，微积分基本定理：设函数F/(x)=f(x)，且f(x)在区间[a,b]上可积，则。其中，F(x)叫做f(x)的一个原函数。该定理表明：要计算，只要求出f(x)在[a,b]上的一个原函数F(x)，计算出F(x)在两个端点的函数值的差F(b)-F(a)即可。常用的积分对照表：被积函数一个原函数4、定积分的应用（1）求曲边多边形的面积注意被积函数是非负的，否则得不到区域的真正面积例1.由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．解析：如图，面积用定积分求曲边多边形面积的步骤：1）作草图，确定积分变量与积分区间[a,b];2）构造面积元素f(x)dx3）建立定积分S=4）计算定积分（2）在物理上的应用1）变力做功：物体在变力f(x)的作用下，沿理得方向由x=a运动到x=b时，力f(x)所作的功为W=；例2.已知弹簧每拉长0.02m，要用9.8N的力，则把弹簧拉长0.1m所作的功为多少？解析：F=kx,k=490，所以W=2）变速直线运动的路程：以变速度v=v(x)做直线运动的质点，在时间t=a到t=b上的路程为S=；（3）求旋转体体积1）由y=f(x)和直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积V=π；2）由x=h(y)和直线y=a、y=b、x=0所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积V=π。3）已知横截面面积求体积：V=典型例题：1．计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图象的面积。解析：画草图，解方程组，求出x∈[0，3]；S=2．求由曲线与围成的平面图形的面积.解析：由，得3.求由曲线，直线y=1，y=2，以及y轴所围成的图形的面积。解析：4.曲线所围平面区域如图所示，求阴影部分的面积.法一：法二：若以做为积分变量，则有5．求椭圆绕x轴旋转一周形成的椭球的体积解析：6．求下列定积分：①解析：②解析：③解析：④解析：=⑤解析：因为是奇函数，所以即：=⑥解析：的几何意义是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限的部分的面积，故.7．设函数，若，，则的值为_______．解析：，8．设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2，求f(x)解析：由题意可知f(x)=x+c(c是一个常数)f(x)=x+2=x+2=x+1+2cx+c=x+1+2cc=-1f(x)=x-1基础练习一选择题1.设函数y=f(x)在区间[0,2]上是连续函数,那么()A.B.C.+D.+2.若f(x)-g(x)=0.且f(x)和g(x)都是可积函数,则-()A.等于0B.大于0C.小于0D.13.下列各式中正确的有()A.B.＜＜1C.D.0＜＜4.函数y=(x＞0)()A.是奇函数B.是偶函