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学案16定积分及其简单的应用
导学目标：1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．

自主梳理
1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．
2．定积分的性质
(1)ʃeq\o\al(b,a)kf(x)dx＝__________________(k为常数)；
(2)ʃeq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；
(3)ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝_______________________________________.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．
4．定积分在几何中的应用
(1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.
(4)若f(x)是偶函数，则ʃeq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2ʃeq\o\al(a,0)f(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃeq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0.
5．定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.
自我检测
1．计算定积分ʃeq\o\al(5,0)3xdx的值为()
A.eq\f(75,2) B．75
C.eq\f(25,2) D．25
2．定积分ʃeq\o\al(1,0)[eq\r(1－x－12)－x]dx等于()
A.eq\f(π－2,4) B.eq\f(π,2)－1
C.eq\f(π－1,4) D.eq\f(π－1,2)
3．如右图所示，阴影部分的面积是()

A．2eq\r(3) B．2－eq\r(3)
C.eq\f(32,3) D.eq\f(35,3)
4．(2010·湖南)ʃeq\o\al(4,2)eq\f(1,x)dx等于()
A．－2ln2 B．2ln2
C．－ln2 D．ln2
5．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.
探究点一求定积分的值
例1计算下列定积分：
(1)SKIPIF1<0；
(2)SKIPIF1<0；
(3)ʃeq\o\al(π,0)(2sinx－3ex＋2)dx；
(4)ʃeq\o\al(2,0)|x2－1|dx.

变式迁移1计算下列定积分：
(1)ʃeq\o\al(2π,0)|sinx|dx；(2)ʃeq\o\al(π,0)sin2xdx.

探究点二求曲线