高中培优讲义定积分及其简单应用.docx

第十三讲定积分及其简单应用
教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2、了解微积分基本定理的含义.
知识回顾课前热身
知识点1、定积分
(1)定积分的相关概念在eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
①eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝keq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx.②eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f1(x)dx±eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f2(x)dx.
③eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(c,a)f(x)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,c)f(x)dx.
(4)．定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．
知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(b,a)，即eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(x)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．
基础练习
1.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,2)eq\f(1,x)dx等于()
A．2ln2B．－2ln2C．－ln2D．ln2
解析：选Deq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,2)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(4,2)＝ln4－ln2＝ln2.
2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()
A.eq\f(17,6)B.eq\f(14,3)C.eq\f(13,6)D.eq\f(11,6)
解析：选AS＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(t2－t＋2)dt＝eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－\f(1,2)t2＋2t))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(17,6).
3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．
解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)
4．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝________.
解析：由定积分的几何意义可知，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx表示单位圆x2＋y2＝