（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题8 立体几何 第66练 高考大题突破练—立体几何 理（含解析）-人教版高三全册数学试题.docx

第66练高考大题突破练—立体几何
[基础保分练]
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：
(1)MN∥平面PAB；
(2)AM⊥平面PCD.

2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB.

3.如图，已知正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且eq\f(PM,PA)＝eq\f(BN,BD)＝eq\f(1,3).
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；
(2)求二面角N－PC－B的余弦值．

[能力提升练]
4.如图，在棱长为2的正方体ACBD－A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点．
(1)证明：AB∥平面A1B1C；
(2)若点M是AB中点，求二面角M－A1B1－C的余弦值；
(3)判断点M到平面A1B1C的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

答案精析
1．证明(1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，
所以点M是棱PD的中点．
又点N是棱PC的中点，
所以MN是△PDC的中位线，
所以MN∥DC.
因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC，
所以MN∥AB.
又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD.
又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.
因为PD⊥AM，CD⊥AM,CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD.
2．证明(1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，
如图，以H为坐标原点，分别以eq\o(HB,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

令BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1，0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)，G(0，－1,0)，∴eq\o(GE,\s\up6(→))＝(0,0,1),
又∵eq\o(HF,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴eq\o(GE,\s\up6(→))∥eq\o(HF,\s\up6(→))，
GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(GE,\s\up6(→))＝(0,0,1)，
∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(GE,\s\up6(→))＝0，
∴AC⊥GE.
又AC⊥BD，且GE⊂平面EDB，BD⊂平面EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.
3．解(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥P－ABCD中，OP⊥平面ABCD，又PA＝AB＝2，所以OP＝eq\r(2).以O为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．

则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，
D(－1，－1,0)，P(0,0，eq\r(2))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,1，eq\r(2))．故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3)，\f(2\r(2),3)))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，0))，
所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，－\f(2\r(2),3)))，
eq\o(PC,\s\up6(→))＝(