高考数学总复习 课时跟踪练（四十五）直线、平面垂直的判定及其性质 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

课时跟踪练(四十五)
A组基础巩固
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：由已知，α∩β＝l，所以l⊂β，又因为n⊥β，所以n⊥l，C正确．
答案：C
2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥mD⇒/l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．
故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．
答案：B
3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()
A．不存在 B．有且只有一对
C．有且只有两对 D．有无数对
解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.
答案：D
4．(2019·泉州二模)在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()

AB

CD
解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.

答案：D
5．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()

A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
解析：取BP的中点O，连接OA，OC，则BP⊥OA，BP⊥OC，又因为OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，得AC⊥平面BDP，又PD⊂平面BDP，所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确，故选B.

答案：B
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．

解析：连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，
又AA1＝1，所以AC1＝3，
所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).
答案：eq\f(1,3)
7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
答案：4
8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有______(填写所有正确命题的编号)．
解析：①中当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，①不正确．
②中，过直线n作平面γ与β交于c，则n∥c.
由m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n正确．
③中由面面平行的性质，易得m∥β③正确．
④中，由线面角的定义与等角定理可知④正确．
答案：②③④
9.(2018·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：

(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB.
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.
因为四边形ABCD为