第26讲平面向量的数量积及应用.docx

第二十六讲—平面向量的数量积及应用
一．课标要求：
1．平面向量的数量积
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二．命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2010年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；
三．要点精讲
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向；
（2）当θ＝π时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向；
（3）当θ＝SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，记SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
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（2）数量积的概念
已知两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，它们的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=︱SKIPIF1<0︱·︱SKIPIF1<0︱cosSKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积（或内积）。规定SKIPIF1<0；
向量的投影：︱SKIPIF1<0︱cosSKIPIF1<0=SKIPIF1<0∈R，称为向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的长度与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘积。
（4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：SKIPIF1<0。
②乘法公式成立
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0SKIPIF1<0；
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：SKIPIF1<0；
对实数的结合律成立：SKIPIF1<0；
分配律成立：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。
④向量的夹角：cosSKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。
当且仅当两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同方向时，θ=00，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反方向时θ=1800，同时SKIPIF1<0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。
（6）垂直：如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为900则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，记作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0。
两个非零向量垂直的充要条件：SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝OSKIPIF1<0SKIPIF1<0，平面向量数量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
如果表示向量SKIPIF1<0的有向线段的起点和终点的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在