第26讲 平面向量的数量积及应用.doc

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普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应用
一．课标要求：
1．平面向量的数量积
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二．命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测07年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；
三．要点精讲
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
C

（2）数量积的概念
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；
向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
（4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：。
②乘法公式成立
；
；
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：；
对实数的结合律成立：；
分配律成立：。
④向量的夹角：cos==。
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量，则·=。
（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设，则或。
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
四．典例解析
题型1：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
（1）；
（2）；
（3）若，则；
（4）若，则当且仅当时成立；
（5）对任意向量都成立；
（6）对任意向量，有。
解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。
点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。
例2．（1）（2002上海春，13）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）
A． B．
C．m（）=m+m D．
（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）=②||－||<|－|③（·）－（·）不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。
（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。
题型2：向量的夹角
例3．（1）（06全国1文，1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
（2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是。
（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。
（4）（2005北京3）||=1，||=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为 （）
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：（1）C；（2）；
（3）由题意，，且与的夹角为，
所以，，
，
，
同理可得。
而，
设为与的夹角，
则。
（4）C；设所求两向