第26讲 平面向量的数量积及应用.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应用一．课标要求：1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具发展运算能力和解决实际问题的能力。二．命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体此类题难度不大分值5~9分。平面向量的综合问题是“新热点”题型其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系解决角度、垂直、共线等问题以解答题为主。预测07年高考：（1）一道选择题和填空题重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题可能以三角、数列、解析几何为载体考察向量的运算和性质；三．要点精讲1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a作＝＝则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：（1）当θ＝０时与同向；（2）当θ＝π时与反向；（3）当θ＝时与垂直记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义两向量必须是同起点的范围0≤≤180。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与它们的夹角为则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：。②乘法公式成立；；③平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。④向量的夹角：cos==。当且仅当两个非零向量与同方向时θ=00当且仅当与反方向时θ=1800同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量则·=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、那么(平面内两点间的距离公式)。2．向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。四．典例解析题型1：数量积的概念例1．判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若则；（4）若则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系重点清楚为零向量而为零。例2．（1）（2002上海春13）若、、为任意向量m∈R则下列等式不一定成立的是（）A．B．C．m（）=m+mD．（2）(2000江西、山西、天津理4)设、、是任意的非零平面向量且相互不共线则①（·）－（·）=②||－||<|－|③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④解析：（1）答案：D；因为而；而方向与方向不一定同向。（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长由“两边之差小于第三边”故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例3．（1）（06全国1文1）已知向量、满足、且则与的夹角为（）A．B．C．D．（2）（06北京文12）已知向量=(cossin)=(cossin)且那么与的夹角的大小是。（3）已知两单位向量与的夹角为若试求与的夹角。（4）（2005北京3）||=1||=2=+且⊥则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：（1）C；（2）；（3）由题意且与的夹角为所以同理可得。而设为与的夹角则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做