离散傅里叶变换.docx

第三章离散傅立叶变换(DFT)

3．1引言
有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。)

一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）
设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：

连续，非周期
非周期，连续
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅里叶级数
设f(t)代表一个周期为T1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和组成变换对，表示为:
（）

注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T表示（采样间隔）。采样脉冲信号的频率为

可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱
连续，周期（时域周期为T1）
非周期，离散（离散间隔为W1）

三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换
正变换：DTFT[x(n)]=
反变换：DTFT-1
级数收敛条件为||=

可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱
离散，非周期（离散时间间隔为T）
周期，连续（频域周期为2p=WsT）

四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。

时域抽样间隔T，频域周期Ws=2p/T，
时域周期T1，频域抽样间隔W1=2p/T1

周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
设是周期为N的一个周期序列，即，r为任意整数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散傅里叶级数来表示。

离散傅里叶级数（DFS）对：
正变换=DFS[]==

反变换=IDFS[]==

式中，，和均为整数。

观察=。是一个周期序列吗？如是，周期为多少？
=。
所以。是一个周期序列，周期为N。
，周期为N
，周期也为N。

观察=，与连续时间信号与系统中的傅里叶级数对应，表明将周期序列分解成N个独立谐波分量。第0次谐波序列，基波序列，…，第k次谐波序列，第N-1次谐波序列。谐波频率，k=0，1，2，…，N-1，幅度为。例如：基波分量的频率为2p/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。

例题：如图所示，求的DFS

解：=DFS[]==

====
==，
||如下图所示。

离散傅立叶变换（DFT）
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列，这就可以得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，
正变换=DFT[]==
k=0，1，2，…，N-1（）
反变换=IDFT[]==
n=0，1，2，…，N-1（）
式中，N称为DFT变换区间长度，N≥M。

例3．1．1：=R4(n)，求的8点和16点DFT。
解：（1）DFT变换区间N=8，则：
====
=，k=0，1，…，7
（2）DFT变换区间N=16，则：
==
=，k=0，1，…，15

DFS与DFT的关系
有限长序列和周期序列的关系
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，以N（N≥M）为周期进行周期延拓得。是x(n)的周期延拓。如下图所示：

M=4，N=8，以N=8进行周期延拓。的周期为8。
用式子表示：
＝
或＝x(n模N)＝x((n))N，(n模N)表示n对N取余数
例：设是以N=8周期对有限长序列x(n)（长度M=4）进行周期延拓得到的。＝x(3)，=x(2)。
有限长序列进行周期延拓得到周期序列。

定义：周期序列中从n=0到N-1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列
周期序列的主值序列是有限长序列

利用前面的矩形序列符号RN(n)
RN(n)=1，0≤n≤N-1
0，其他