正弦定理和余弦定理详解.docx

高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．
基础知识梳理
1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).
3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
例1．已知在中，，，，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：，
∴，
∴，
又，
∴．
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
例2．在，求：和，．
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵，∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，，∴，
∴即为锐角，∴，
∴．
总结升华：
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知中，、、，求中的最大角。
思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：，
∵，∴
故中的最大角是.
总结升华：
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中,,,求角.
【答案】根据余弦定理：，
∵，∴
【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．
【答案】设，，，
根据余弦定理得：，
∵，∴；
同理可得；
∴
【变式3】在中，若，求角.
【答案】∵，∴
∵，∴
类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在中，已知，，，求及.
思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.
解析：
⑴由余弦定理得：
=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二：正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在中，已知,,.求和.