浙江理工大学1415高数A1期末试卷含答案.docx

浙江理工大学2014—2015学年第1学期
《高等数学A1》期末试卷（A）卷
本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。
承诺人签名：学号：班级：任课教师：
题号一二三四五六总分复核教师签名1234512得分阅卷教师签名一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1、设函数与在区间内可导，且，则必有（）
A.B.
C.D.
2、若函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则（）
A.对任何，有；
B.当，存在，使；
C.当时，存在，使；
D.存在，使.
3、设函数连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（）
A.；B.；
C.；D..
4、设可导，且，则当时，在点处的微分是（）
A.与等价的无穷小；B.与同阶的无穷小；
C.比低阶的无穷小；D.比高阶的无穷小.
5、曲线与x轴所围成的面积可表示为（）
A.；B.；
C.；D..
6、设非齐次线性微分方程有两个不同的解，，为任意常数，则该方程的通解是（）.
A.;B.;
C.；D..
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
1、已知，则。
2、微分方程满足初始条件的特解是。
3、设，则。
4、若曲线有拐点，则，。
5、广义积分。
6、函数在区间上的最小值为。
三、计算题（本题共6小题，每题5分，满分30分，应写出演算过程及相应文字说明）
1、求。

2、求。

3、求曲线（其中，为常数）在处的切线方程。

4、计算积分。

求曲线，（为常数）相应于的一段弧的长度。

6、求微分方程的通解。

四、数学建模题（本题6分，应写出具体建模和求解过程）
铁路线AB段的距离为100km。工厂C距A处为20km，AC垂直于AB（如图）。为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5。为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？
B
A
100km

D

20km

C

五、解答题（本题8分，应写出具体解题过程）
设曲线（，常数）与曲线交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形D，求
(1)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积；(2)的值，使最大。

六、证明题（本题共2小题，第1题4分，第2题4分，满分8分）
1、设函数在闭区间上连续，且，证明存在，使得。

2、设是连续函数，证明。

浙江理工大学2014—2015学年第1学期
《高等数学A1》期末试卷（A）卷标准答案和评分标准

一选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.C2.A3.B4.B5.D6.B
二填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.；2.；3.；4.3,3；
5.;6..
三、计算题
解：…………………(3分)
。…………………(5分)
2、解：。…………………(5分)
3、解：对应点的坐标为。
当时，；
。…………………(4分)
从而，切线方程为。…………………(5分)
解：…………………(4分)
。…………………(5分)
解：由于，
，…………………(2分)
所以，所求弧长
。…(5分)
解：方程两边同时乘以，即，得。…(2分)
于是，。
解此方程，有。
所以，方程的解为。…………………(5分)
解：设AD=xkm，那么，DB=km，CD=km。
不妨设铁路上每公里的运费为，公路上每公里的运费为（为某个正数）。
则从B点到C点所需要的总运费为
，
即。…………(2分)
对求关于的导数，得。
解方程，得km。…………………(4分)
由于，，，
所以当AD=15km时，总运费最省。…………………(6分)
解：由题意知，曲线与曲线的交点为A，所以，
直线OA的方程为。…………………(2分)
（1）旋转体的体积为
…………(5分)
（2）。
当时，得的唯一驻点。当时，；当时，
。故为的唯一极大值点，即为最大值点。…………(8分)
六、1、证明：设，则在闭区间上连续，在开区间上可导，
故，由微分中值定理，存在，使得
，即。…………(3分)
又因为，所以。……………(4分)
2、证明：设，，则

。…………………(3分)
又因为，故，即
。…………………(4分)