极坐标与参数方程.docx

坐标系与参数方程

1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标
系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直
角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过点M(b，eq\f(π,2))且平行于极轴：ρsinθ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
(3)圆心位于M(r，eq\f(π,2))，半径为r：ρ＝2rsinθ.
4．直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．
5．圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数，0≤θ≤2π)．
6．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2,y＝2pt)).

真题感悟
1．(2013·广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
2．(2013·江西)设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
3．(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
4．(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．
5．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－2t))(t为参数)与曲线C2：
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asinθ，,y＝3cosθ))(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.

6.[2014·广东卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．
7．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)的普通方程为________．

8．[2014·陕西卷]
C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a