数系的扩充与复数的引入.docx

§13.6数系的扩充与复数的引入

基础自测

1.（2008·浙江理，1）已知a是实数，是纯虚数，则a等于 （）
A.1 B.-1 C. D.-
答案A
2.设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是 （）A.a=0 B.a=0且b≠0
C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0
答案A
3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （）
A.一条直线 B.两条直线
C.圆 D.椭圆
答案C
4.（2008·辽宁理，4）复数+的虚部是 （）
A.i B. C.-i D.-
答案B
5.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z=.
答案-1+i


例1已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),
试求实数a分别取什么值时，z分别为：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
解（1）当z为实数时，
则有，
∴,∴a=6，即a=6时，z为实数.
（2）当z为虚数时，
则有a2-5a-6≠0且有意义，
∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z为虚数.
（3）当z为纯虚数时，有,
∴.
∴不存在实数a使z为纯虚数.
例2已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.
解设x=a+bi(a,b∈R)，则y=a-bi,
x+y=2a,xy=a2+b2,
代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得,
解得或或或.
故所求复数为或
或或.
例3计算：
（1）; (2);
(3)+; (4).
解（1）==-1-3i.
(2)=
===+i.
(3)+=+
=+=-1.
(4)==
==--i.
例4(12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，
试求：
（1）表示的复数，所表示的复数；
（2）对角线所表示的复数;
(3)求B点对应的复数.
解（1）=-，∴所表示的复数为-3-2i.
∵=，∴所表示的复数为-3-2i. 4分
（2）=-，∴所表示的复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 8分
(3)=+=+,
∴表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
即B点对应的复数为1+6i. 12分

1.已知m∈R，复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二像限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上.
解（1）当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0
得m=-3,故当m=-3时，z∈R.
（2）当z为纯虚数时,则有
解得m=0，或m=2.
∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.
（3）当z对应的点位于复平面第二像限时,
则有
解得m＜-3或1＜m＜2，故当m＜-3或1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二像限.
（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,
则有+,
得=0，解得m=0或m=-1±.
∴当m=0或m=-1±时，点Z在直线x+y+3=0上.
2.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos+(+3sin)i(∈R).若z1=z2,求的取值范围.
解∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos+(+3sin)i,
由复数相等的条件，得,
∴=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin
=4sin2-3sin=4(sin-)2-,
∵-1≤sin≤1,
∴当sin=时，min=-;当sin=-1时，max=7,
∴-≤≤7.

3.计算下列各题
（1）；
（2）+.
解（1）=
==i（1+i）4=i［（1+i）2］2
=i（2i）2=-4i.
（2）+=+
=i+=i+i1003
=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0.
4.已知关于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.
解（1）∵b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b2-6b+9）+（a-b）i=0，
故解得a=b=3.
（2）设z=x+yi（x，y∈R），
由|-3-3i|=2|z|，
得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），
即（x+1）2+（y-1）2=8.
∴Z点