平面向量的线性运算以及坐标运算.docx

一、同步知识梳理
1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量)
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加（减）法运算：
=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．
=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．
=3\*GB2⑶三角形不等式：．

=4\*GB2⑷运算性质：=1\*GB3①交换律：；=2\*GB3②结合律：；=3\*GB3③．

3、向量数乘运算：
=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
=1\*GB3①；
=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．

二、同步例题分析
例1、判断下列命题的真假。
（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量的单位向量是；（10）若，则；（11）若，则；（12）若，则；（13）若，则。

例2、给出下列几个命题：
若，则；
若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
在平行四边形ABCD中，一定有；
若，则。
其中不正确命题的个数为（）
A.2B.3C.4D.5

例3、如图，在中，，M为BC的中点，则=________。（用表示）

变式：1、化简下列各式：
（1）；（2）；
（3）。

2、已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（）
A．B．C．D．

3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（）
（1）时，与的方向一定相反；
（2）时，与的方向一定相同；
（3）时，与是共线向量；
（4）时，与的方向一定相同；
（5）时，与的方向一定相反。
A.2个B.3个C.4个D.5个

4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。求证：

5、如图，在五边形ABCDE中，若ACDE是平行四边形，且，，，试用表示向量及。

例8、设两个非零向量不共线，
（1）若，求证：A、B、D三点共线。
（2）试确定实数k使得与共线。

变式：如图，平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点。

三、课后作业
1、若有以下命题：
=1\*GB3①两个相等向量的模相等；=2\*GB3②若和都是单位向量，则；
=3\*GB3③相等的两个向量一定是共线向量；=4\*GB3④，，则；
=5\*GB3⑤零向量是唯一没有方向的向量；=6\*GB3⑥两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是。

2、已知下列各式：
①；②③④
其中结果为零向量的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
3、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（）
A． B．C． D．

4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；
此时．

5、若则的取值范围是

图1
6、（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量()
A.B.C.D.

7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____

8、设为两个不共线的向量，若与共线，则=__________________

9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．

10、如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：

思考题：设点O在△ABC内部，且有，求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。

平面向量的基本定理及坐标表示
一、知识点梳理
1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。
2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90°，则称a与b，记作。
3、向量的正交分解：
4、平面向量的坐标运算
（1）平面向量的坐标：
设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数，使得，记作。
（2）平面向量的坐标运算
①，则有
，，，
②设，则有；
③向量共线的坐标表示：
设，则有a与b共线，；
④中点公式
设，P为的中点，则对任一点O，有
，所以点P的坐标是。
二、专题经典讲练
例1、设是同