全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题含答案.docx

2009年全国初中数学竞赛预赛

九年级试题参考答案

题号一二三总分1~56~1011121314得分注意：考试时间为120分钟，试卷满分为120分.
一、选择题（每小题6分，共30分，以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）
1.设＞＞＞，,,则之间的关系是:（D）
、＞＞、＞＞
、＞＞、＞＞

B
A
C
D
E
2.如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且
那么等于（B）

、: 、:
、: 、:

3.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（A）
、、、、

4.如图,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是
正方形,其中C,D,E在AB上,F,N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（A）
、、
、、

5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为与,则第三边长是;②若点在第三象限,则点在第一象限;③函数的图象平移后可以和函数的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:（C）
个、个、个、个

二、填空题（每小题6分，共30分，直接将答案填在题后横线上）
6.规定一种运算“”：对于任意实数对恒有。若实数满足则－1，1

7.名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳人和人的两种帐篷，则有效搭建方案共有8种。

8.平面直角坐标系中，⊙的圆心在坐标原点，半径为，点的坐标为，直线为⊙的切线，为切点。则点的坐标为（2，0）、（－1，）

D
C
B
A
O
y
x
9.如图，点A、C在反比例函数的图象上，
B、D在轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C
的坐标是..

10.不定方程的所有整数解为（－1，3）、（5，1）、（1，5）、（3，－1）。

三、解答题（共4个小题，每个小题15分，满分60分）
11．已知实数、、满足及，求的值。
解：以为根的二次方程，其中……………………5分
…………………………8分
所以，代入求得…………………………10分
则…………………………15分
12．在边长为的正方形的边上取点，边上取点，边上取点，边上取点。如果，求的值。
解：如图，将正方形绕点顺时针旋转。……………………2分
则正方形变到正方形的位置，线段变为………4分
C1
B
Q
C
P
M
D
N1
Q1
D1
A
N
…………………………6分
由可得∥…………8分
所以………………10分
则
…………………………15分

13．已知以、、三点为顶点的三角形被直线分成两部分，设靠近原点一侧那部分的面积为，试写出用表示的的解析式。
解：易知直线的方程为…………………………2分
直线过定点。分两种情况讨论：…………………………3分
（1）直线与线段相交，设交点为，则靠近原点一侧的图形是三角形。在方程中，令，得＞，所以
…………………………6分
由＜，所以＜
得到＜…………………………8分
（2）直线与线段相交，设交点为，则靠近原点一侧的图形是四边形。由解得点坐标为……9分
所求四边形面积为
………………………11分
由在线段上，所以解得或＞
所以……………………………14分
综合（1）（2）得……………………………15分
14．在标号为的黑色布袋中装有一些完全一样的小球，如果每次提问允许问其中任意袋中所有小球数的奇偶性。那么要确定号袋中小球数的奇偶性，至少需要提问几次？
解：至少需要提问3次。……………………3分
首先说明3次提问是足够的。例如：
第一次为：，；
第二次为：
第三次为：
其中表示第袋中小球的数目，这样3个答案之和的奇偶性与的奇偶性相同（其余每袋在3次提问中各恰好出现2次）。………………………………9分
再证至少需要3次提问。如果提问只有2次，且2次中都出现，那么在两次提问中必有和，使得只在第一次提问中出现，而只在第二次提问中出现，这样同时改变、、的奇偶性，每次答案是相同的，从而不能确定的奇偶性。如果两次中不都出现，在都不出现时，改变的奇偶性；在只出现一次时，改变与（这里是与同时出现的某袋小球）的奇偶性，那么两次答案仍是相同的，不能确定的奇偶性。
综上可知，至少需要提问3次。………………………………15分