高考数学大一轮复习 3.3用导数研究函数的最值试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

第3讲用导数研究函数的最值
一、填空题
1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值和最小值分别是________．
解析令f′(x)＝8x3－6x＝0，得x＝0或x＝±eq\f(\r(3),2)，x＝0及x＝－eq\f(\r(3),2)不合题意，舍去．
∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＝2×eq\f(9,16)－3×eq\f(3,4)＋1＝－eq\f(1,8)，
feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，f(2)＝21.
∴原函数的最大值为f(2)＝21，最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＝－eq\f(1,8).
答案21，－eq\f(1,8)
2．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．
解析因为f′(x)＝3x2－a，所以由题意可得在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，所以a≤(3x2)min，而(3x2)min＝3，所以a≤3.
答案3
3．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
解析由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜1，,10－a2＞1，解得－2≤a＜1.,f1≥fa，))
答案[－2,1)
4．若函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为________．
答案eq\r(3)－1
5．设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
解析f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得x＝1或－eq\f(2,3)，
f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7.
∴m＜eq\f(7,2).
答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))
6．函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
解析f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，
当0≤x≤eq\f(π,2)时，f′(x)≥0，且只有在x＝eq\f(π,2)时，f′(x)＝0，
∴f(x)是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的增函数，
∴f(x)的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(1,2)eeq\f(π,2)，f(x)的最小值为f(0)＝eq\f(1,2).
∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2))).
答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2)))
7．已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)，在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，则eq\f(c,b)的最小值为________．
解析由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.
又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，
∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0.∴eq\f(c,b)＝eq\f(2a2＋8,2a)＝a＋eq\f(4,a).
∵a＞0，∴eq\f(c,b)＝a＋eq\f(4,a)≥4，即eq