高等数学复习提纲 同济大学 下册.docx

高等数学复习提纲

一、考试题型
1．填空题6题
2．计算题8题

二、知识点
1．平面及其方程。
例题：一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),试求这平面方程.
解所求平面的法线向量可取为

所求平面的方程为
(x1)(y0)3(z1)0即xy3z40

空间直线及其方程。
例题：求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.
解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即

所平面的方程为
16(x2)14(y0)11(z3)0
即16x14y11z650
例题：求过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程.
解所求平面的法线向量与直线的方向向量s1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为

所求平面的方程为
8(x3)9(y1)22(z2)0
即8x9y22z590

旋转曲面。
例题：将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
解将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2z25x
例题：将zOx坐标面上的圆x2z29绕z轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程.
解将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2y2z29
4.多元复合函数求导，隐函数求导。
例题：求函数的全微分

解
例题：设zu2lnv而,v3x-2y,求
解



例题：设zex2y,而xsint,yt3,求.
解

例题：设siny+ex-xy20,求.
解令F(x,y)siny+ex-xy2,则Fxex-y2,Fycosy-2xy

例题：设,求.
解令,则




重积分（直角坐标，极坐标）。
例题：,其中D{(xy)||x|1|y|1};
解积分区域可表示为D1x11y1于是



例题：,其中D是顶点分别为(0,0),(p,0),和(p,p)的三角形闭区域.

解积分区域可表示为D0x0yx于是,


例题：利用极坐标计算下列各题:
(1)，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;
解在极坐标下D={(r,q)|0£q£2p,0£r£2},所以

.

(3),其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的第一象限内的闭区域.
解在极坐标下,所以

.

求曲顶柱体体积。
例题：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.
解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2£2,因为积分区域关于x及y轴均对称,并且被积函数关于x,y都是偶函数,所以

.
例题：计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积
解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D{(xy)|x2y2ax}
在极坐标下所以


6常数项级数的审敛法。
例题：判定下列级数的收敛性:
(1);
解因为,
而级数收敛,故所给级数收敛.
(2);
解因为,
而级数收敛,故所给级数收敛.
(1);
解级数的一般项为.因为
,
所以级数发散.
(2);
解因为
,
所以级数收敛.
(3);
解因为
,
所以级数收敛.
(3).
解因为
,
所以级数收敛.
例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是
条件收敛？
(1);
解这是一个交错级数,其中.
因为显然un³un+1,并且,所以此级数是收敛的.
又因为是p<1的p级数,是发散的,
所以原级数是条件收敛的.
(2);
解.
因为,所以级数是收敛的,
从而原级数收敛,并且绝对收敛.

幂级数。
例题：求下列幂级数的收敛域

解故收敛半径为R1
因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[11]

解这里级数的一般项为
因为由比值审敛法当x21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂级数发散故收敛半径为R1
因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[11]

函数展开成幂级数。
例题：将下列函数展开成x的幂级数并求展开式成立的区间(1)sin2x
解因为
x()
所以x()
例题：将函数f(x)cosx展开成的幂级数
解

5例题：将函数展开