【金版教程】2014届高考数学总复习 8.7 抛物线限时规范训练 理 新人教A版.doc

【金版教程】2014届高考数学总复习8.7抛物线限时规范训练理新人教A版
(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1.[2013·济南质检]如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是()
A.y2＝－16x B.y2＝12x
C.y2＝16x D.y2＝－12x
答案：C
解析：由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x.
2.[2013·聊城模拟]点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()
A.y＝12x2
B.y＝12x2或y＝－36x2
C.y＝－36x2
D.y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2
答案：D
解析：将y＝ax2化为x2＝eq\f(1,a)y，当a>0时，准线y＝eq\f(1,4a)，由已知得3＋eq\f(1,4a)＝6，∴eq\f(1,a)＝12，∴a＝eq\f(1,12).当a<0时，准线y＝－eq\f(1,4a)，由已知得|3＋eq\f(1,4a)|＝6，∴a＝－eq\f(1,36)或a＝eq\f(1,12)(舍)．
∴抛物线方程为y＝eq\f(x2,12)或y＝－eq\f(1,36)x2，故选D.
3.[2013·南通模拟]已知点A(3,4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是()
A.(0,0) B.(3,2eq\r(6))
C.(2,4) D.(3，－2eq\r(6))
答案：C
解析：由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2,4)．
4.抛物线y2＝－12x的准线与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()
A.3eq\r(3) B.2eq\r(3)
C.2 D.eq\r(3)
答案：A
解析：抛物线的准线为x＝3，
双曲线的两条渐近线y＝±eq\f(\r(3),3)x.
所求三角形的面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3).
故应选A.
5.[2013·太原调研]设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()
A.y2＝±4x B.y2＝±8x
C.y2＝4x D.y2＝8x
答案：B
解析：由抛物线方程知焦点F(eq\f(a,4)，0)，

∴直线l为y＝2(x－eq\f(a,4))，
与y轴交点A(0，－eq\f(a,2))．
∴S△OAF＝eq\f(1,2)·|OA|·|OF|
＝eq\f(1,2)·|－eq\f(a,2)|·|eq\f(a,4)|＝eq\f(a2,16)＝4.
∴a＝±8，
∴抛物线方程为y2＝±8x.
6.[2013·德州模拟]抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是()
A.(eq\f(1,2)，eq\f(1,4)) B.(1,1)
C.(eq\f(3,2)，eq\f(9,4)) D.(2,4)
答案：B
解析：方法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得
d＝eq\f(|2x－y－4|,\r(5))＝eq\f(|2x－x2－4|,\r(5))＝eq\f(|x－12＋3|,\r(5))
＝eq\f(x－12＋3,\r(5))≥eq\f(3,\r(5)).
当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．
方法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切，则x2－2x－m＝0.
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，此时x＝1，
∴点的坐标为(1,1)．
方法三：(导数法)y＝x2的导数为y′＝2x，设所求点为
P(x0，y0)，则2x0＝2.
∴x0＝1，∴P(1,1)．
二、填空题
7.[2013·日照模拟]已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
答案：x＝－1
解析：直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2py－p2＝0.设A和B的纵坐标分别为y1和y2，由韦达定理知y1＋y2＝2p，