【与名师对话】2014年高考数学总复习 4-3 导数的应用(二)配套课时作业 理 新人教A版.doc

【与名师对话】2014年高考数学总复习4-3导数的应用(二)配套课时作业理新人教A版
一、选择题
1．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为 ()
A．e B．1
C．－1 D．－e
解析：函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，
令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增，
当x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
答案：C
2．(2012年洛阳统考)已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是
()
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
解析：f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案：D
3．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定 ()
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析：∵f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，
∴a<1.
∴g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，则g′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2).
∵x∈(1，＋∞)，a<1，
∴x2－a>0，即g′(x)>0.
∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
答案：D
4．(2012年深圳调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 ()
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))

解析：f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f′(x)＝3x2－6b，
由题意，函数f′(x)的草图如图，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0<0，,f′1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6b<0，,3－6b>0，))
解得0<b<eq\f(1,2).故选D.
答案：D
5．如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为 ()

A．长102米，宽eq\f(5000,51)米 B．长150米，宽66米
C．长、宽均为100米 D．长150米，宽eq\f(200,3)米
解析：设鱼塘长、宽分别为y米、x米，依题意xy＝10000.
设占地面积为S，则S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋eq\f(80000,x)＋30048，
令S′＝18－eq\f(80000,x2)＝0，得x＝eq\f(200,3)，此时y＝150.
答案：D
6．(2012年课标全国)设点P在曲线y＝eq\f(1,2)ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为 ()
A．1－ln2 B.eq\r(2)(1－ln2)
C．1＋ln2 D.eq\r(2)(1＋ln2)
解析：由y＝eq\f(1,2)ex得ex＝2y，所以x＝ln2y，所以y＝eq\f(1,2)ex的反函数为y＝ln2x，所以y＝eq\f(1,2)ex与y＝ln2x的图象关于直线y＝x对称，所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离，令(ln2x)′＝eq\f(1,x)＝1，解得x1＝1，令(eq\f(1,2)ex)′＝1，解得x2＝ln2，所以两点为(1，ln2)和(ln2,1)，故d＝eq\r(2)(1－ln2)，选B.
答案：B
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：

x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)17单调递
增↗极大
值24单调递
减↘极小
值－8单调递
增↗－1可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
答案：32
8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月