【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版.doc

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

2014高考会这样考1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．
复习备考要这样做1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．

1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
eq\o(\s\up7(方法),\s\do5(位置关系))几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).
方法
位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解[难点正本疑点清源]
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用根与系数关系及弦长公式
|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|
＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).

1．(2011·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案2x－y＝0
解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0.
2．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．
答案(－eq\r(3)，eq\r(3))
解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是eq\f(2,\r(k2＋1))>1，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，即k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
答案(－13,13)
解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.
∵d＝eq\f(|c|,\r(122＋52))＝eq\f(|c|,13)，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．
4．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦
值为 ()
A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,5) C.eq\f(\r(3),2) D．0
答案B
解析圆的方程整理为(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)，

∴sin∠APC＝eq\f(1,\r(5))，
则cos∠APB＝cos2∠APC
＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))))2＝eq\f(3,5).
5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案B
解析⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.
⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.
∴|C1C2|＝eq\r(13)，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|<r1＋r2＝4，
∴两圆相交，有两条公切线.

题型一直线与圆的位置关系
例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
思维启迪：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或