2014高考数学一轮总复习 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版.doc

38.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2直线y＝x＋b当b为何值时(1)直线与圆有两个公共点；(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心O(00)到直线y＝x＋b的距离为dd＝eq\f(|b|\r(12＋12))＝eq\f(|b|\r(2))半径r＝eq\r(2).当d＜r时直线与圆相交eq\f(|b|\r(2))＜eq\r(2)－2＜b＜2所以当－2＜b＜2时直线与圆有两个公共点.当d＝r时直线与圆相切eq\f(|b|\r(2))＝eq\r(2)b＝±2所以当b＝±2时直线与圆只有一个公共点.方法二：(代数法)联立两个方程得方程组消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0Δ＝16－4b2.当Δ＞0即－2＜b＜2时有两个公共点；当Δ＝0即b＝±2时有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时要注意运用数形结合思想既要运用平面几何中有关圆的性质又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ∈Rθ≠kπ＋eq\f(π2)k∈Z)的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r＝eq\f(\r(2)2)设圆心到直线的距离为d则d＝eq\f(1\r(sin2θ＋1)).因为θ≠eq\f(π2)＋kπk∈Z.所以0≤sin2θ＜1所以eq\f(\r(2)2)＜d≤1即d＞r所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时符合题意故应满足2－1＜|OC|＜2＋1所以1＜eq\r(a2＋a2)＜3即eq\f(\r(2)2)＜|a|＜eq\f(3\r(2)2)所以－eq\f(3\r(2)2)＜a＜－eq\f(\r(2)2)或eq\f(\r(2)2)＜a＜eq\f(3\r(2)2)为所求a的范围.【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于PQ两点若点P的坐标为(12)则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－11)(2－2)则过它们圆心的直线方程为eq\f(x－(－1)2－(－1))＝eq\f(y－1－2－1)即y＝－x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P(12)可得它关于直线y＝－x的对称点即点Q的坐标为(－2－1).题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(05)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4eq\r(3)求l的方程；(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图AB＝4eq\r(3)D是AB的中点则AD＝2eq\r(3)AC＝4在Rt△ADC中可得CD＝2.设所求直线的斜率为k则直线的方程为y－5＝kx即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式eq\f(|－2k－6＋5|\r(k2＋1))＝2得k＝eq\f(34)此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时也满足题意此时的方程为x＝0.所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦长公式求解)(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(xy)因为CD⊥PD所以＝0即(x＋2y－6)·(xy－5)＝0化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时注意运用“平方差法”即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1y1)B(x2y2)中点为(x0y0)由得k＝eq\f(y1－y2x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2y1＋y2)＝－eq\f(x0y0).该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0设该圆过点(35)的最长弦和最短弦分别为AC和BD则四边形ABCD的面积为()A.10eq\r(6)B.20eq\r(6)C.30eq\r(6)D.40eq\r(6)【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25过点(35)的最长弦为AC＝10最短弦为BD＝2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)S＝eq\f(