（江苏专用）高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第1讲函数与方程思想、数形结合思想
高考定位函数与方程思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.

1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形、以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.

热点一函数与方程思想的应用
[应用1]不等式问题中的函数(方程)法
【例1－1】(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________.
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________.
解析(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，则g′(x)＝eq\f(3（1－2x）,x4)，
所以g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，、
因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，从而a≥4.
当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，
设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，且g(x)在区间[－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数.

又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也是增函数.
因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).
所以，由图可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
答案(1)4(2)(－∞，－3)∪(0，3)
探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
[应用2]数列问题的函数(方程)法
【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝eq\f(n2,an)，证明：bn≤eq\f(4,9).