（江苏专用）高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系是对函数概念的本质认识建立函数关系或构造函数运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化对于函数y＝f(x)当y＞0时就转化为不等式f(x)＞0借助于函数的图象和性质可解决有关问题而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系即以形作为手段数为目的比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性即以数作为手段形作为目的如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参建立关系由数思形、以形想数做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用[应用1]不等式问题中的函数(方程)法【例1－1】(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－11]总有f(x)≥0成立则a＝________.(2)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x＜0时f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g(－3)＝0则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________.解析(1)若x＝0则不论a取何值f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(01]时f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥eq\f(3x2)－eq\f(1x3).设g(x)＝eq\f(3x2)－eq\f(1x3)则g′(x)＝eq\f(3（1－2x）x4)所以g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0\f(12)))上单调递增在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(12)1))上单调递减、因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)))＝4从而a≥4.当x＜0即x∈[－10)时f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤eq\f(3x2)－eq\f(1x3)设g(x)＝eq\f(3x2)－eq\f(1x3)且g(x)在区间[－10)上单调递增因此g(x)min＝g(－1)＝4从而a≤4综上a＝4.(2)设F(x)＝f(x)g(x)由于f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)即F(x)在R上为奇函数.又当x＜0时F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0所以x＜0时F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同所以x＞0时F(x)也是增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).所以由图可知F(x)＜0的解集是(－∞－3)∪(03).答案(1)4(2)(－∞－3)∪(03)探究提高(1)在解决不等式问题时一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数然后利用函数值域求解.[应用2]数列问题的函数(方程)法【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3an＋1＝an＋p·3n(n∈N*p为常数)a1a2＋6a3成等差数列.(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝eq\f(n2an)证明：bn≤eq\f(49).(1)解由a1＝3an＋1＝an＋p·3n得a2＝3＋3pa3＝a2＋9p＝3＋12p.因为a1a2＋6a3成等差数列所以a1＋a3＝2(a2＋6)即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)得p＝2依题意知an＋1＝an＋2