高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想案 文-人教版高三全册数学学案.doc

第1讲函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点描述两个量之间的依赖关系刻画数量之间的本质特征在提出数学问题时抛开一些非数学特征抽象出数量特征建立明确的函数关系并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系列出方程(组)进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系相互为用的.2.数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”把某些抽象的数学问题直观化、生动化能够变抽象思维为形象思维揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”把直观图形数量化使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)(2017·衡阳联考)设0<a<1e为自然对数的底数则aaeea－1的大小关系为()A.ea－1<a<aeB.ae<a<ea－1C.ae<ea－1<aD.a<ea－1<ae(2)(2017·衡水中学质检)设f(x)是定义在R上的偶函数对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)且当x∈[－20]时f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))eq\s\up12(x)－6.若在区间(－26]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根则实数a的取值范围是________.解析(1)设f(x)＝ex－x－1x>0则f′(x)＝ex－1∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(0)＝0f(x)>0∴ex－1>x即ea－1>a.又y＝ax(0<a<1)在R上是减函数得a>ae从而ea－1>a>ae.(2)由f(x＋4)＝f(x)即函数f(x)的周期为4因为当x∈[－20]时f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))eq\s\up12(x)－6.所以若x∈[02]有－x∈[－20]则f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))eq\s\up12(－x)－6＝3x－6因为f(x)是偶函数所以f(x)＝f(－x)＝3x－6x∈[02]由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)作出函数f(x)的图象如图.当a>1时要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（2）<f（2）g（6）>f（6）))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga4<3loga8>3))解得eq\r(34)<a<2故a的取值范围是(eq\r(34)2).答案(1)B(2)(eq\r(34)2)探究提高1.第(1)题构造函数转化为判定函数值的大小利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】(1)设函数f(x)＝eq\f(x2)－cosx则方程f(x)＝eq\f(π4)所有实根的和为()A.0B.eq\f(π4)C.eq\f(π2)D.eq\f(3π2)(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(11)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切则a＝________.解析(1)由f(x)＝eq\f(x2)－cosx＝eq\f(π4)得eq\f(x2)－eq\f(π4)＝cosx令y＝eq\f(x2)－eq\f(π4)y＝cosx.在同一坐标系内作出两函数图象易知两图象只有一个交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2)0)).∴方程f(x)＝eq\f(π4)的实根之和为eq\f(π2).(2)由y＝x＋lnx得y′＝1＋eq\f(1x)∴曲线y＝x＋lnx在点(11)处的切线方程为y－1＝2(x－1)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1y＝ax2＋（a＋2）x＋1))消去y得ax2＋ax＋2＝0.依题意Δ＝a2－8a＝0∴a＝8(a＝0舍去).答案(1)C(2)8应用2函数与方程思想在数列中的应用【例2】(2017·深圳调研)已知