【步步高】2015届高考数学总复习 12.3几何概型配套文档 理 新人教B版.doc

§12.3几何概型

1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零． (√)
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． (√)
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． (√)
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (√)
2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ()
A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)
答案B
解析以时间的长短进行度量，故P＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).
3．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
答案eq\f(2,3)
解析如图可设＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是eq\f(2,3).
4．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
答案eq\f(1,3)

解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(1,3).
5．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．
答案eq\f(2,5)
解析区域D为区间[－2,3]，d为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P＝eq\f(2,5).

题型一与长度、角度有关的几何概型
例1(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率．
(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．

思维启迪(1)coseq\f(π,2)x介于0到eq\f(1,2)之间转化为－1<x<－eq\f(2,3)或eq\f(2,3)<x<1；
(2)在∠BAC内作射线，可将BM<1转化为∠BAM的条件．
解(1)由函数y＝coseq\f(π,2)x的图象知，
当－1<x<－eq\f(2,3)或eq\f(2,3)<x<1时，
0<coseq\f(π,2)x<eq\f(1,2).
由概率的几何概型知：
coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).
(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，
所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).
思维升华解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
(1)若在例1(2)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．
(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
答案(1)eq\f(\r(3)－1,2)(2)eq\f(1,2)
解析(1)由∠B＝60°，∠C＝45°，AD＝eq\r(3)得，
BD＝eq\f(AD,tanB)＝1，DC＝AD＝eq\r(3)，
则BM<1的概率为P＝eq\f(1,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2).
(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等