（潍坊专版）中考数学复习 第1部分 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用检测-人教版初中九年级全册数学试题.doc

第七节二次函数的综合应用
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1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.
①求点M，N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y＝ax2＋eq\f(3,2)x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.
(1)请直接写出二次函数y＝ax2＋eq\f(3,2)x＋c的表达式；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

图1

图2

3．(2018·随州中考)如图1，抛物线C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(－1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G.

(1)求出抛物线C1的表达式，并写出点G的坐标；
(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′，B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；
(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

参考答案
1．解：(1)①如图，

∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,2)，
∴顶点M的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(9,2))．
当x＝eq\f(1,2)时，y＝－2×eq\f(1,2)＋4＝3，
则点N的坐标为(eq\f(1,2)，3)．
②不存在．理由如下：
MN＝eq\f(9,2)－3＝eq\f(3,2).
设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m2＋2m＋4)，
∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m.
∵PD∥MN，
当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即－2m2＋4m＝eq\f(3,2)，解得m1＝eq\f(1,2)(舍去)，m2＝eq\f(3,2)，
此时P点坐标为(eq\f(3,2)，1)．
∵PN＝eq\r(（\f(1,2)－\f(3,2)）2＋（3－1）2)＝eq\r(5)，∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形．
(2)存在．
如图，

OB＝4，OA＝2，则AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).
当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，则P(1，2)，
∴PB＝eq\r(12＋（2－4）2)＝eq\r(5).
设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋4，
把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，
∴抛物线的表达式为y＝ax2－2(a＋1)x＋4.
当x＝1时，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则D(1，2－a)，
∴PD＝2－a－2＝－a.
∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，
∴当eq\f(PD,BO)＝eq\f(PB,BA)时，△PDB∽△BOA，即eq\f(－a,4)＝eq\f(\r(5),2\r(5))，
解得a＝－2，
此时抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4；
当eq\f(PD,BA)＝eq\f(PB,BO)时，△PDB∽△BAO，即eq\f(－a,2\r(5))＝eq\f(\r(5),4)，
解得a＝－eq\f(5,2)，
此时抛物线的表达式为y＝－eq\f(5,2)x2＋3x＋4.
综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4或y＝－eq\f(5,2)x2＋3x＋4.
2．解：(1)y＝－eq\f(1,4)