【9月最新修订版】2011全国各地中考数学试题分类汇编考点18-2 B二次函数的应用（几何）.doc

二次函数的应用（几何）2
一、选择
1.（2011重庆市潼南,10,4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于x轴的
直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长
度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分
别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是

2.（2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x.则y关于x的函数图象大致是（）

A． B． C． D．
【答案】C
3.（2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）

o
x
y

A． B．C． D．
【答案】A
二、填空
1.
2.
3.
4.
5.
三、解答
1.(2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
⑴求点C的坐标；
⑵若抛物线经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°,而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO，又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2，∴点C的坐标为(3,－1)

(2)①∵抛物线经过点C(3,－1)，∴,解得
∴抛物线的解析式为
解法一：②i)当A为直角顶点时，延长CA至点,使,则△是以AB为直角边的等腰直角三角形,
如果点在抛物线上,则满足条件,过点作⊥轴,∵＝,∠＝∠，∠＝∠＝90°,∴△≌△，∴AE＝AD＝2,＝CD＝1,
∴可求得的坐标为(－1,1)，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件；
ii）当B点为直角顶点时，
过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△
∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（－2，－1），经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件．同理可得点的坐标为（2，－3），经检验点不在抛物线上．
综上：抛物线上存在点(－1,1)，（－2，－1）两点，使得△和△
是以AB为直角边的等腰直角三角形．

解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分）
i)当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为
由解之可得(－1,1)（已知点C除外）作⊥x轴于E,则AE＝2,＝1,由勾股定理有又∵AB＝,∴，∴△是以AB为直角边的等腰三角形；
ii）当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点和点，易求出直线L的解析式为，由解得或
∴(－2,－1)，（4，－4）作⊥y轴于F，同理可求得
∴△是以AB为直角边的等腰三角形作⊥y轴于H，可求得，∴Rt△不是等腰直角三角形，∴点不满足条件．
综上：抛物线上存在点(－1,1)，（－2，－1）两点，使得△和△是以角AB为直边的等腰直角三角形．

2.（2011广东省，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.

【解】（1）把x=0代入，得
把x=3代入，得，
∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）
设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，