【9月最新修订版】2011全国各地中考数学试题分类汇编考点18-1 B二次函数的应用（代数）.doc

二次函数的应用（代数）
一、选择
1.
2.
3.
4.
5.
二、填空
1.
2.
3.
4.
5.
三、解答
1.(2011广东河源，22，本满分9分)
如图11，已知抛物线与x轴交于两点A、B，其顶点为C．
(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；
(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图11

【答案】（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2-4m+3,
m2-4m+5=0,由于△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，此方程无实数解，
所以点M（m，-2）不会在该抛物线上；
（2）当y=0时，x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点A在点B左侧，∴A(1,0),B(3,0)
y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴顶点C的坐标是（2，-1），
由勾股定理得，AC=,BC=,AB=2，
∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形；
(3)存在这样的点P.
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y=x2-4x+3上，∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-,x2=2+,
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）.
2.（2011广东湛江，28,14分）如图，抛物线的顶点为,与轴相交点，与轴交于两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明为直角三角形；
（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），所以抛物线的解析式为；
（2）因为，可得,
所以有

所以，所以为直角三角形；
（3）可知,假设存在这样的点F，设，所以,
要使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要,即，所以或，因此点F的坐标为或。
3.（2011河南，15，23分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

【答案】（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-.
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为
由抛物线经过A、B两点，得

解得
（2）①设直线与y轴交于点M.
当x=0时，y=.∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
∴DE：PE：PD=3∶4：5.
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD

=
∴

②满足意的点P有三个，分别是

【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以
当点F落在y轴上时，同法可得，
（舍去）.
4.（2011湖北十堰，25，12分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），已知点H（0，-1）.问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（-2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长.

1+b+c=0
c=-3
b=2
c=-3
【答案】解：（1）由得解得

所以抛物线的解析式是y=x2+2x-3

(2)解法一：假设抛物线上存在点G，设G（m,n）,显然，当n=-3时，△AGH不存在。
①当n>-3时，可得S△AGH=EQ-\F(m,2)+\F(n,2)+\F(1,2),S△GHC=-m,
S△AGH=S△GHC，∴m+n+1=0,
n=m2+2m-3
m+n+1=0

由解得m=EQ-\F(3+\R(,17),2),n=EQ\F(1+\R(,17),2),或m=EQ\F(-3+\R(,17),2)