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微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
李绍刚段复建徐安农
（桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004）
摘要：本文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关键词：线性微分算子非齐次微分方程特解
中图分类号：O175.1
引言
对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算子法求其特解一直是研究的热点问题，见参考文献[3-9]，有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程[3-6]，文献[6]研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而[7]是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程中占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，大多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对大多数学生而言还是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复杂，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方面的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式
其中为常数。（1）
引入微分算子，则有：
于是（1）式可化为：
即：（2）
令称其为算子多项式。则（2）式即为：
其特解为：，在这里我们称为逆算子。
一基本理论
众所周知：算子多项式有如下性质[1]
（一）算子多项式的性质：
1．（3）
2．设,（4）
则
作者简介：李绍刚(1978-),男，河南漯河人，桂林电子工业学院计算科学与数学系硕士研究生，主要研究方向为最优化理论与算法。联系电话：5601272(研究室)

3．设，则（5）
基于上述算子多项式的性质，我们可以得到下列算子多项式的运算公式。
（二）算子多项式的运算公式：
1．（6）
证明：
2．（7）
证明：由欧拉公式：，则有：

3．（8）
证明：类似于性质2的证明，我们有
由欧拉公式：，则有：

4．（9）
证明：因为

所以

5．（10）
证明：不妨设，则有：
左边

右边

所以左边=右边，证毕。
二逆算子在解题中的应用：
我们首先给出逆算子的性质：
（一）逆算子的性质
类似于算子多项式的性质我们有：
1.F(D)f(x)=f(x)（约定）（11）
2.（12）
3.设,
则（13）
接下来我们讨论逆算子的基本运算公式及其在解题中的具体应用
（二）逆算子的运算公式：
1．逆算子移位原理：（14）
证明：由（9）式易证。
这是逆算子很重要的一个性质，在许多题目的求解中都要用到，我们后面会讨论它的应用。
2．（其中（15）
若不妨设为的重根（，则有：
，其中表示对求阶导数。
证明：由（6）式易证（其中下面考虑设为的重根（，则可令：
其中，则易知有：
（由逆算子移位原理：此时）
（由逆算子公式14）

例2
解：因为：，而
所以有：
y=
例3
解：因为：1为的二重根，此时，
所以有：
3．（1）当时有：

（2）当时有：
（16）
证明：
（1）由（7）和（8）式易证。
（2），不妨设，则有：
（a）

而所以：

（b）仿类似可证。
例4
解：因为：，
所以由性质3的公式（1）有：
y=

例5
解：因为：，
所以由性质3的公式（2）有：
y=x
通过上述两道例题可以看出，对形如或者，均可以用性质3进行求解。
4．，其中是用1形式的除（按升幂排列）所得的多项式，其最高次数为。（17）
证明：其中表示余式。两端同乘得：

这里中最低次幂为，对的运算为零。所以
例6
解：因为：，利用性质1和4，所以有：
y=

5．（18）
证明：要证此式，只需证明：
左边

=右边证毕。
例7
解：因为：，所以由性质5有：
y=

6．；，其中（19）
我们仍考虑例7
解：用算子移位原理来转而求解的实数部分即为所求。
因为：
所以有：y=

我们不妨再用待定系数法来求解这道题：
另解：该方程对应的齐次方程为：，特征方程为：
由于不是特征方程的根，所以应设特解为：

将其代入所给方程，得：

比较两端同类项的系数，得

由此解得：
于是求得的一个特解为：
通过本题可以看出：对形如或既可以用性质1和5两种方法进行求解，也可以看出算子移位原理应用的广泛性，而传统的待定系数法需要进行比较复杂的求导运算和解方程组，而算子法恰恰避免了这些缺点，求解过程简单易懂。
7．（其中积分号共n个）。（20）
证明：由求导是