2024考研数学三真题+答案.pdf

2021年全国硕士研究生招生考试

数学（三）真题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）

ᵆ2
（1）当ᵆ→0时，∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
是ᵆ7的（）
0
（A）低阶无穷小（B）等阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等阶无穷小

【答案】C.

【解析】因为当ᵆ→0时，

2
∫ᵆ(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
(ᵅᵆ6−1)⋅2ᵆ2ᵆ7
lim0=lim=lim=0
ᵆ→0ᵆ7ᵆ→07ᵆ6ᵆ→07ᵆ6
ᵆ2
所以，∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
是ᵆ7的高阶无穷小.
0
【思路】在无穷小比较中，若涉及到定积分，常用求导的方式先将积分符号化掉.有时也可

用积分中值定理将积分符号化掉.

ᵆ2
∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
=(ᵅᵰ6−1)⋅ᵆ2,其中ᵰ位于0,ᵆ之间.
0
则当ᵆ→0时，ᵰ→ᵆ→0，则有

ᵆ2
∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
∼(ᵅᵆ6−1)⋅ᵆ2∼ᵆ8
0
ᵅᵆ−1
,ᵆ≠0
（2）函数ᵅ(ᵆ)={ᵆ，在ᵆ=0处（）
1,ᵆ=0

（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值

（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零

【答案】D.

【解析】先考虑连续性.当ᵆ→0时，

ᵅᵆ−1ᵆ
lim=lim=1=ᵅ(0)
ᵆ→0ᵆᵆ→0ᵆ
所以，ᵅ(ᵆ)在ᵆ=0处连续.

然后考虑可导性.当ᵆ→0时，

ᵅᵆ−1
ᵅ(ᵆ)−ᵅ(0)−1ᵅᵆ−1−ᵆᵅᵆ−11
lim=limᵆ=lim=lim=
ᵆ→0ᵆ−0ᵆ→0ᵆᵆ→0ᵆ2ᵆ→02ᵆ2

所以，ᵅ(ᵆ)在ᵆ=0处可导且导数不为零.

1

【思路】判断一元函数在某个点处连续、可导、取极值情况时，应依次判断连续性、可导性、

极值情况。本题中，当一阶导数不为0时，根据极值的必要条件可知，函数(ᵅᵆ)在ᵆ=0

处不取极值.
ᵄ
（3）函数(ᵅᵆ)=ᵄᵆ−ᵄlnᵆ,(ᵄ>0)有2个零点，则的取值范围（）
ᵄ

（A）(ᵅ,+∞)（B）(0,ᵅ)（C）(0,1)（D）(1,+∞)
ᵅᵅ
【答案】A.

【解析】考虑(ᵅᵆ)在定义域ᵆ>0上的单调性.
ᵄ
ᵅ′(ᵆ)=ᵄ−
ᵆ
ᵄ
ᵅ′(ᵆ)的零点是ᵆ=.
ᵄ
若ᵄ≤0，则ᵅ(ᵆ)在定义域内是单调递增函数，此时(ᵅᵆ)在定义域内最多只有1个零

点，因此ᵄ>0.
ᵄᵄ
显然(ᵅᵆ)在(0,)上单调递增，在(,+∞)上单调递减.
ᵄᵄ

ᵅ(0+)=limᵅ(ᵆ)=lim(ᵄᵆ−ᵄlnᵆ)=+∞,
ᵆ→0+ᵆ→0+
ᵄlnᵆ
(ᵅ+∞)=limᵅ(ᵆ)=lim(ᵄᵆ−ᵄlnᵆ)=limᵆ(ᵄ−)=limᵄᵆ=+∞
ᵆ→+∞ᵆ→+∞ᵆ→+∞ᵆᵆ→+∞
ᵄ
因为(ᵅ0+)、ᵅ(+∞)均大于0，要保证有两个零点，ᵅ()必小于0.则有
ᵄ
ᵄᵄᵄ
ᵅ()=ᵄ−ᵄln=ᵄ(1−ln)<0
ᵄᵄᵄ
ᵄ
所以，>ᵅ.
ᵄ
【思路】结合函数的单调性来讨论函数的零点情况.

（4）设函数(ᵅᵆ,ᵆ)可微，ᵅ(ᵆ+1,ᵅᵆ)=ᵆ(ᵆ+1)2，ᵅ(ᵆ,ᵆ2)=2ᵆ2lnᵆ，则ᵅ
ᵅ(1,1)=

（）

（A）ᵅ
ᵆ+ᵅ
ᵆ（B）ᵅ
ᵆ−ᵅ
ᵆ（C）ᵅ
ᵆ（D）−ᵅ
ᵆ

【答案】C.

【解析】(ᵅᵆ+1,ᵅᵆ)和(ᵅᵆ,ᵆ2)分别对求导ᵆ.

ᵅ
ᵅ(ᵆ+1,ᵅᵆ)
=ᵅ′+ᵅ′⋅ᵅᵆ=(ᵆ+1)2+2(ᵆ+1)ᵆ=(ᵆ+1)(3ᵆ+1)①
ᵅ
ᵆ12
ᵅ
ᵅ(ᵆ,ᵆ2)
=ᵅ′+ᵅ′⋅2ᵆ=4ᵆlnᵆ+2ᵆ②
ᵅ
ᵆ12

2

考虑到ᵅ
ᵅ(1,1)=ᵅ′(1,1)ᵅ
ᵆ+ᵅ′(1,1)ᵅ
ᵆ，故①式中的取ᵆ0，②式中的取ᵆ1，则
12
有

ᵅ′(1,1)+ᵅ′(1,1)=1
12
ᵅ′(1,1)+2ᵅ′(1,1)=2
12
解得，ᵅ′(1,1)=0,ᵅ′(1,1)=1.所以ᵅ
ᵅ(1,1)=ᵅ
ᵆ.
12
【思路】从全微分公式ᵅ
ᵆ=ᵅ′(ᵆ,ᵆ)ᵅ
ᵆ+ᵅ′(ᵆ,ᵆ)ᵅ
ᵆ入手，只需求出′ᵅ(1,1)和′ᵅ(1,1)即
ᵆᵆᵆᵆ
可.

（5）二次型(ᵅᵆ,ᵆ,ᵆ)=(ᵆ+ᵆ)2+(ᵆ+ᵆ)2−(ᵆ−ᵆ)2的正惯性指数与负惯性指
123122331
数依次为（）

（A）2,0（B）1,1（C）2,1（D）1