2024考研数学三真题及答案.pdf

2021考研数学真题及答案解析

数学（三）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）

x2
(1)当x0时，(et31)dt是x7的
0
(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.

x2x2
(et31)dt2x(ex61)x7，所以(et31)dtx7高阶无穷小，正
【详解】因为当x0时，是
00
确答案为C.

ex1
,x0
(2)函数f(x)=x,在x0处

1,x0
(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.
【答案】D.

ex1
【详解】因为limf(x)=lim1f(0)，故f(x)在x0处连续；
x0x0x
ex1
1
f(x)f(0)xex1x11
因为lim=limlim，故f(0)，正确答案为D.
2
x0x0x0x0x0x22
b
(3)设函数f(x)axblnx(a0)有两个零点，则的取值范围是
a
11
(A)(e,).(B)(0,e).(C)(0,).(D)(,).
ee
【答案】A.
bbbbb
【详解】令f(x)axblnx0，f(x)a，令f(x)0有驻点x，fabln0，
xaaaa
bb
从而ln1，可得e，正确答案为A.
aa

(4)设函数f(x,y)可微，f(x1,ex)x(x1)2，f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1)
(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.
【答案】C.
【详解】f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1)①
12

f(x,x2)2xf(x,x2)4xlnx2x②
12

1
x0x1
分别将，带入①②式有
y0y1
f(1,1)f(1,1)1，f(1,1)2f(1,1)2
1212
联立可得f(1,1)0，f(1,1)1，df(1,1)f(1,1)dxf(1,1)dydy，故正确答案为C.
1212
(5)二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正惯性指数与负惯性指数依次为
123122331
(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.
【答案】B.
【详解】f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)22x22xx2xx2xx
1231223312122313
011
A121
所以，故特征多项式为

110
11
|EA|121(1)(3)
11

令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
T1
1
(6)设A(,,,)为4阶正交矩阵，若矩阵B=T，1，k表示任意常数，
12342
T1
3
则线性方程组Bx的通解x
(A)k.(B)k.
23411342
(C)k.(D)k.
12431234
【答案】D.
【解析】因为A(,,,)为4阶正交矩阵，所以向量组,,,是一组标准正交向量
12341234
T
1
组，则r(B)3，又B=T0，所以齐次线性方程组Bx0的通解为k.而
4244
T
3
T1
1
B()=T()1，故线性方程组Bx的通解
1232123
T1
3
xk，其中k为任意常数.故应选D.
1234
101
A211PQPAQ
(7)已知矩阵，若下三角可逆矩阵和上三角可逆矩阵，使为对角

125
矩阵，则P，Q可以分别取

2
100101100100
010013210010
(A)，.(B)，.

001001321001
100101100123
210013010012
(C)，.(D)，.

321001131001
【答案】C.
【解析】
10110010110010110