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第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理
平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度不大于板中面最小尺寸的时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（KirchhoffGustavRobert，基尔霍夫古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力与应力,和相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1基本方程与边界条件回顾
取坐标平面与中面重合，轴垂直于中面，,和轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿,和轴方向的位移分别用,和表示。由Kirchhoff假设，可以得到
，，（6-1）
并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为
，，（6-2）
其余3个应变分量,和根据假设都等于零，即
，，（6-3）
由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷与剪力,以及弯矩,和扭矩（,,统称为内力矩）与,之间的关系式。这里要注意，,,是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，,是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图6-1所示。
图6-1弯矩、扭矩和剪力的正方向
平衡方程为
（6-4）
在薄板弯曲理论中，剪力,不产生应变，因而也不作功，因此可以从（6-4）式中消去,，得到
（6-5）
以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而内力,不再作为独立的量看待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。
与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度的关系为
，，（6-6）
内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度表示出来，若将表示为的函数，则有
，，（6-7）
这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，是的正定的二次齐次函数。在各向同性的情况下，的算式为
（6-8）
将（6-8）式代入（6-7）式，然后再将（6-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为
（6-9）
以上各式中称为板的弯曲刚度，其中为板的厚度，为材料的泊松系数。
如果我们定义为广义应变，为广义应力，即
（6-10）
则有
（6-11）
式中的为弯曲刚度矩阵。（6-8）式可以写为
（6-12）
余应变能密度看作是内力矩,,的函数，其值定义为
（6-13）
并且有
，，（6-14）
同样，对于线性的弹性体，是,,的正定的二次齐次函数。
如果以广义应力表示余应变能密度，则有
（6-15）
式中。
（6-12）式与（6-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即。
将（6-9）式代入（6-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为
（6-16）
或
（6-16/）
在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由转变为，如图6-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为
（6-17）
对于挠度，有，从而
图6-2坐标转换
（6-18）
及二阶偏导为

（6-19）
弯矩、扭矩的变换公式为
（6-20）
剪力的变换公式为
（6-21）
在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。
设为板在平面上的定义域，板的边界为，令为沿边界外向法线的方向，为边界的切线，（,）的转向与（,）的转向是一致的，如图6-3所示。
第一种边界为固支边界，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有
（在上）（6-22）
第二种边界为简支边界，在这种边界上，其挠度与法向弯矩为给定的，即有
图6-3板的边界
（在上）（6-23）
第三种边界为自由边界，在自由边界上，作用在边界上的力为给定的。从内力和力矩看，在边界上共有三个，即，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，和并不完全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分，则在上所作之功是
（