求极限的几种方法.docx

SKIPIF1<0求函数极限的方法和技巧

摘要:本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词：函数极限
引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
主要内容SKIPIF1<0
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例:用极限定义证明:
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
证:由SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0 取SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时,就有
SKIPIF1<0

由函数极限SKIPIF1<0定义有:

SKIPIF1<02、利用极限的四则运算性质

若SKIPIF1<0 SKIPIF1<0
(I)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
(II)SKIPIF1<0
(III)若B≠0则：
SKIPIF1<0
（IV）SKIPIF1<0（c为常数）
上述性质对于SKIPIF1<0
例：求SKIPIF1<0
解:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0

3、约去零因式（此法适用于SKIPIF1<0
例:求
解:原式=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0SKIPIF1<0

4、通分法（适用于SKIPIF1<0型）
例:求SKIPIF1<0

解:原式=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x)满足：
（I）SKIPIF1<0
(II)SKIPIF1<0 (M为正整数)
则：SKIPIF1<0
例:求SKIPIF1<0
解:由SKIPIF1<0而SKIPIF1<0
故原式=SKIPIF1<0

6、利用无穷小量与无穷大量的关系。SKIPIF1<0
（I）若：SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0
(II)若:SKIPIF1<0且f(x)≠0则SKIPIF1<0
例:求下列极限
①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0
解:由SKIPIF1<0故SKIPIF1<0
由SKIPIF1<0故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0

7、等价无穷小代换法
设SKIPIF1<0都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
SKIPIF1<0， SKIPIF1<0存在，
则SKIPIF1<0也存在，且有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
例:求极限SKIPIF1<0
解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0 SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
但我们经常使用的是它们的变形：
SKIPIF1<0
例：求下列函数极限
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
SKIPIF1<0
例：求下列函数的极限
SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
SKIPIF1<0m、n、k、l为正整数。
例：求下列函数极限
①SKIPIF1<0、nSKIPIF1<0②SKIPIF1<0
解:①令t=SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,于是
原式=SKIPIF1<0
②由于SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
令